На якій відстані від землі сила гравітації, що діє на тіло, буде втричі слабшою, ніж на поверхні Землі? Радіус Землі

Космос_4537

12

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать закон всемирного тяготения, который формулируется следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила гравитации, \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.674 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, \(r\) - расстояние между ними.

Мы знаем, что на поверхности Земли сила гравитации, действующая на тело, равна массе этого тела, умноженной на ускорение свободного падения. Мы также знаем, что ускорение свободного падения составляет примерно \(9.8\, \text{м/с}^2\).

Чтобы найти расстояние, на котором сила гравитации будет втричи слабее, чем на поверхности Земли, нам нужно найти такое расстояние, при котором сила гравитации будет \(1/3\) от силы на поверхности Земли.

Давайте обозначим это расстояние как \(d\). Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{{G \cdot масса_{Земли} \cdot масса_{тела}}}{{d^2}} = \frac{1}{3} \cdot масса_{тела} \cdot ускорение\]

Массу Земли можно заменить на её объём, домноженный на плотность. Объем Земли можно выразить через радиус Земли (\(R\)) следующим образом:

\[объем_{Земли} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3\]

Таким образом, мы можем заменить \(масса_{Земли}\) на \(\text{плотность}_{Земли} \cdot объем_{Земли}\). Подставляя это в уравнение, мы получаем:

\[\frac{{G \cdot \text{плотность}_{Земли} \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^3 \cdot масса_{тела}}}{{d^2}} = \frac{1}{3} \cdot масса_{тела} \cdot ускорение\]

Масса тела сокращается на обоих сторонах уравнения. Удаляем её:

\[\frac{{G \cdot \text{плотность}_{Земли} \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^3}}{{d^2}} = \frac{1}{3} \cdot ускорение\]

Теперь мы можем решить это уравнение для \(d\):

\[d^2 = \frac{{3 \cdot G \cdot \text{плотность}_{Земли} \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^3}}{{уcкорение}}\]

\[d = \sqrt{\frac{{3 \cdot G \cdot \text{плотность}_{Земли} \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^3}}{{уcкорение}}}\]

Подставляя значения из условия задачи, получим:

\[d = \sqrt{\frac{{3 \cdot 6.674 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \cdot 5500\, \text{кг/м}^3 \cdot 4 \cdot 3.14 \cdot (6400 \times 10^3)^3}}{{9.8\, \text{м/с}^2}}}\]

После вычислений получим около \(1550\, \text{км}\).

Таким образом, расстояние, на котором сила гравитации будет втричи слабее, чем на поверхности Земли, составляет примерно \(1550\, \text{км}\).