На якій висоті від поверхні Землі знаходився космічний корабель під час посадки, якщо сила притягання збільшилась

Бабочка

3

При решении данной задачи сначала необходимо установить связь между силой притяжения и высотой. Для этого воспользуемся законом всемирного тяготения, который гласит:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{d^2}}\]

Где \(F\) - сила притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(d\) - расстояние между ними.

В данном случае масса космического корабля остается неизменной, но сила притяжения изменяется. Мы можем выразить эту зависимость, взяв отношение \(F_2\) (новая сила притяжения) к \(F_1\) (исходная сила притяжения):

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{d_2^2}} \cdot \frac{{d_1^2}}{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}\]

Где \(d_1\) - исходное расстояние корабля от поверхности Земли, \(d_2\) - новое расстояние корабля от поверхности Земли.

Теперь мы можем сократить \(G\), \(m_1\) и \(m_2\):

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{d_1^2}}{{d_2^2}}\]

Так как сила притяжения пропорциональна \(1/d^2\), то отношение сил также равно \(d_1^2/d_2^2\).

Далее, нам нужно преобразовать данное отношение для нахождения высоты. Допустим, что \(h\) - искомая высота корабля от поверхности Земли. Тогда вся высота \(H\) (смещение от поверхности Земли) будет равна \(r + h\), где \(r\) - радиус Земли.

Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{(r + h_1)^2}}{{(r + h_2)^2}}\]

Мы можем упростить это отношение, раскрыв скобки:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{r^2 + 2rh_1 + h_1^2}}{{r^2 + 2rh_2 + h_2^2}}\]

Теперь мы можем избавиться от неизвестных \(r^2\), поделив обе части на \(r^2\):

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{1 + \frac{{2h_1}}{{r}} + \frac{{h_1^2}}{{r^2}}}}{{1 + \frac{{2h_2}}{{r}} + \frac{{h_2^2}}{{r^2}}}}\]

Теперь мы можем подставить значения в нашу формулу. Радиус Земли \(r\) составляет 6400 км. Предположим, что сила притяжения \(F_2\) увеличилась в \(n\) раз:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = n\]

Теперь мы можем решить уравнение относительно искомой высоты \(h_2\):

\[\frac{{1 + \frac{{2h_1}}{{r}} + \frac{{h_1^2}}{{r^2}}}}{{1 + \frac{{2h_2}}{{r}} + \frac{{h_2^2}}{{r^2}}}} = n\]

Заменяем значения:

\[\frac{{1 + \frac{{2h_1}}{{6400}} + \frac{{h_1^2}}{{6400^2}}}}{{1 + \frac{{2h_2}}{{6400}} + \frac{{h_2^2}}{{6400^2}}}} = n\]

Теперь мы можем решить данное уравнение относительно \(h_2\). К сожалению, на данный момент я не могу выполнить точные математические вычисления или дать окончательный ответ без конкретных данных о \(h_1\) и \(n\). Однако, вы можете взять данное уравнение и решить его самостоятельно, используя математические методы, такие как факторизация или квадратные уравнения.