Напишите уравнение кривой, проходящей через точку (-2; 8), если угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой

Смешарик

27

Для начала, нам дано следующее условие: угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен \(2x-4\). Угловой коэффициент касательной к функции в точке \((x_0, y_0)\) определяется как производная функции в этой точке. Таким образом, у нас есть производная функции:

\[f"(x) = 2x - 4\]

Теперь, чтобы найти уравнение кривой, проходящей через точку \((-2, 8)\), нам нужно найти саму функцию \(f(x)\). Мы можем проинтегрировать уравнение производной, чтобы найти исходную функцию. Для этого проинтегрируем \(f"(x)\):

\[\int f"(x) dx = \int (2x - 4)dx\]
\[f(x) = x^2 - 4x + C\]

Где \(C\) - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти конкретное уравнение кривой, проходящей через точку \((-2, 8)\), подставим координаты точки в функцию \(f(x)\) и найдем значение константы \(C\):

\[8 = (-2)^2 - 4(-2) + C\]
\[8 = 4 + 8 + C\]
\[8 = 12 + C\]
\[C = -4\]

Таким образом, уравнение кривой будет:

\[f(x) = x^2 - 4x - 4\]