Напишите уравнение, соответствующее данному условию, и решите его: из квадрата некоего натурального числа n вычли

Максимовна

23

Дано, что из квадрата некоего натурального числа \( n \) вычли 63 и получили удвоенное значение этого числа. Нам нужно найти это задуманное число.

Предположим, что задуманное число - \( x \).

Из условия задачи, у нас есть следующее уравнение:

\[ n^2 - 63 = 2x \]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно найти значение числа \( x \).

Для начала, решим это уравнение относительно переменной \( n \).

\[ n^2 = 2x + 63 \]

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ (n^2)^2 = (2x + 63)^2 \]

Раскроем скобки в правой части:

\[ n^4 = (2x + 63)(2x + 63) \]

Распишем полученное выражение:

\[ n^4 = 4x^2 + 252x + 3969 \]

Теперь, когда у нас есть уравнение относительно \( n \), мы можем приступить к решению задачи.

Найдем значение \( n \), возведя обе части уравнения в 0.25 (четвертую степень корня):

\[ (n^4)^{0.25} = (4x^2 + 252x + 3969)^{0.25} \]

\[ n = (4x^2 + 252x + 3969)^{0.25} \]

Теперь мы можем использовать это значение \( n \) для нахождения значения \( x \).

Подставим \( n \) в исходное уравнение:

\[ n^2 - 63 = 2x \]

\[ ((4x^2 + 252x + 3969)^{0.25})^2 - 63 = 2x \]

\[ 4x^2 + 252x + 3969 - 63 = 2x \]

\[ 4x^2 + 252x + 3906 = 2x \]

\[ 4x^2 + 250x + 3906 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( x \). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение.

Решим это уравнение, используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ a = 4, \quad b = 250, \quad c = 3906 \]

\[ D = (250)^2 - 4(4)(3906) \]

\[ D = 62500 - 62496 \]

\[ D = 4 \]

Дискриминант равен 4, что означает, что уравнение имеет два действительных корня.

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, мы получаем:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} \]

\[ x = \frac{{-250 \pm \sqrt{4}}}{{2 \cdot 4}} \]

\[ x = \frac{{-250 \pm 2}}{{8}} \]

Таким образом, имеем два возможных значения для \( x \):

\[ x_1 = \frac{{-250 + 2}}{{8}} = \frac{{-248}}{{8}} = -31 \]

\[ x_2 = \frac{{-250 - 2}}{{8}} = \frac{{-252}}{{8}} = -31.5 \]

Ответ: Задуманное число может быть равным -31 или -31.5, но так как условие задачи говорит о "натуральном числе", то задуманное число \( n \) не может быть натуральным числом.