Насколько граммов уменьшится масса воздуха в открытом сосуде при повышении его температуры с 27°С до 127°С, если

Радужный_Ураган_1675

13

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон Бойля-Мариотта и закон Гей-Люссака.

Закон Бойля-Мариотта утверждает, что при постоянной температуре объём газа обратно пропорционален давлению, то есть:

\[P_1V_1 = P_2V_2\]

где \(P_1\) и \(P_2\) - начальное и конечное давление соответственно, \(V_1\) и \(V_2\) - начальный и конечный объём газа соответственно.

Закон Гей-Люссака утверждает, что при постоянном давлении объем газа прямо пропорционален абсолютной температуре, то есть:

\[\frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\]

где \(T_1\) и \(T_2\) - начальная и конечная температура соответственно.

Из задачи мы знаем, что начальная температура составляет 27°С, что равно 300 K (так как 1 К = 1°С), а конечная температура составляет 127°С, что равно 400 K.

Поскольку объем газа в открытом сосуде неизменен, мы можем использовать только закон Гей-Люссака для расчета конечного состояния газа. Подставим известные значения:

\[\frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\]
\[\frac{{V_1}}{{300}} = \frac{{V_2}}{{400}}\]

Мы ищем изменение массы воздуха, а масса воздуха пропорциональна его плотности. Плотность воздуха, в свою очередь, прямо пропорциональна его молярной массе.

Пользуясь уравнением состояния идеального газа \(PV = nRT\), где \(P\) - давление, \(V\) - объём, \(n\) - количество вещества газа (в молях), \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - абсолютная температура, мы можем составить пропорцию для массы воздуха.

\[\frac{{P_1V_1}}{{n_1RT_1}} = \frac{{P_2V_2}}{{n_2RT_2}}\]

Так как у нас открытый сосуд, можно считать, что давление равно атмосферному, а также считать массы несжимаемыми (в идеальном газе масса пропорциональна количеству вещества). Таким образом, пропорции сокращаются:

\[\frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\]
\[\frac{{n_1}}{{T_1}} = \frac{{n_2}}{{T_2}}\]

Следовательно, соотношение молярных масс равно отношению абсолютных температур:

\[\frac{{m_1}}{{M_1}} = \frac{{m_2}}{{M_2}}\]
\[\frac{{m_1}}{{300}} = \frac{{m_2}}{{400}}\]

Мы нагреваем воздух, поэтому его масса будет уменьшаться. Ищем разность масс \(m_2 - m_1\):

\[m_2 - m_1 = m_2 - \frac{{300m_2}}{{400}} = \frac{{100m_2}}{{400}}\]

Теперь найдем массу воздуха в начале нагревания. Пусть она равна \(m_1\):

\[m_1 = \frac{{V_1}}{{T_1}} \cdot \frac{{P_1}}{{RT_1}} = n_1M_1 = \rho_1V_1 = \rho_1 \cdot V_2 \cdot \frac{{T_1}}{{T_1}} = \rho_1 \cdot V_2\]

Таким образом, \(m_1 = \rho_1 \cdot V_2\).

Подставляем это в нашу разность масс:

\[m_2 - m_1 = \frac{{100m_2}}{{400}}\]
\[\frac{{m_1}}{{V_2}} = \frac{{100m_2}}{{400}}\]
\[\frac{{\rho_1 \cdot V_2}}{{V_2}} = \frac{{100m_2}}{{400}}\]
\[\rho_1 = \frac{{100m_2}}{{400}}\]
\[400 \cdot \rho_1 = 100 \cdot m_2\]
\[4 \cdot \rho_1 = m_2\]

Теперь можем выразить разность масс через начальную массу и давление:

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 - \rho_1 \cdot V_2\]

Подставляем известные значения для температуры (начальная температура составляет 27°C, что равно 300 K, а конечная температура составляет 127°C, что равно 400 K) и давления:

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 - \rho_1 \cdot V_2 = 4 \cdot \rho_1 - \rho_1 \cdot V_2 = 4 \cdot \rho_1 - \frac{{\rho_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}}\]

Теперь выразим плотность через массу и объём:

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 - \frac{{\rho_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}} = 4 \cdot \frac{{m_1}}{{V_2}} - \frac{{\frac{{m_1}}{{V_2}} \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}} = 4 \cdot \frac{{m_1}}{{V_2}} - \frac{{m_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{V_2 \cdot T_1}} \]

Теперь выразим начальную массу через плотность и объём:

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \frac{{m_1}}{{V_2}} - \frac{{m_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{V_2 \cdot T_1}} = 4 \cdot \frac{{\rho_1 \cdot V_2}}{{V_2}} - \frac{{\rho_1 \cdot V_2 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{V_2 \cdot T_1}}\]

Сокращаем \(V_2\):

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 - \frac{{\rho_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}} = 4 \cdot \rho_1 - \frac{{\rho_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}}\]

Теперь выразим плотность через массу и объём и подставим значения плотности:

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 - \frac{{\rho_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}} = 4m_1 - \frac{{m_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}}\]

Подставляем известное значение начальной массы:

\[m_2 - m_1 = 4m_1 - \frac{{m_1 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}} = 4 \cdot \rho_1 \cdot V_2 - \frac{{\rho_1 \cdot V_2 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}}\]

Подставляем известное значение начального объёма (объем газа в открытом сосуде неизменен):

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 \cdot V_2 - \frac{{\rho_1 \cdot V_2 \cdot V_1 \cdot T_2}}{{T_1}} = 4 \cdot \rho_1 \cdot V_2 - \frac{{\rho_1 \cdot V_2 \cdot V_2 \cdot T_2}}{{T_1}}\]

Теперь подставляем изначальное соотношение плотности к массе:

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 \cdot V_2 - \frac{{\rho_1 \cdot V_2 \cdot V_2 \cdot T_2}}{{T_1}} = 4 \cdot \frac{{100m_2}}{{400}} \cdot V_2 - \frac{{\frac{{100m_2}}{{400}} \cdot V_2 \cdot V_2 \cdot T_2}}{{T_1}}\]

Сокращаем значения:

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \frac{{100m_2}}{{400}} \cdot V_2 - \frac{{\frac{{100m_2}}{{400}} \cdot V_2 \cdot V_2 \cdot T_2}}{{T_1}}\]
\[1 = \frac{{100}}{{400}} - \frac{{\frac{{100}}{{400}} \cdot V_2 \cdot V_2 \cdot T_2}}{{T_1}}\]

Теперь можем найти значение \(V_2\) (из соотношения \(V_1 = \rho_1 \cdot V_2\) ).

\[V_2 = \frac{{V_1}}{{\rho_1}}\]
\[V_2 = \frac{{100m_2}}{{4 \cdot 100}}\]
\[V_2 = \frac{{100m_2}}{{400}}\]

Подставляем это значение:

\[1 = \frac{{100}}{{400}} - \frac{{\frac{{100}}{{400}} \cdot \frac{{100m_2}}{{400}} \cdot \frac{{100m_2}}{{400}} \cdot T_2}}{{T_1}}\]

Избавляемся от дроби, перемножая все значения на 400:

\[400 = 100 - \frac{{100 \cdot 100m_2^2 \cdot T_2}}{{400 \cdot T_1}}\]

Теперь упрощаем выражение:

\[400 = 100 - \frac{{100 \cdot 100 \cdot m_2^2 \cdot T_2}}{{400 \cdot T_1}}\]
\[400 = 100 - \frac{{100 \cdot m_2^2 \cdot T_2}}{{4 \cdot T_1}}\]
\[400 = 100 - 25m_2^2 \cdot \frac{{T_2}}{{T_1}}\]

Теперь можем выразить \(m_2\) через известные значения:

\[25m_2^2 \cdot \frac{{T_2}}{{T_1}} = 300\]
\[m_2^2 = \frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}\]
\[m_2 = \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}\]

Теперь подставляем в формулу и вычисляем:

\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 \cdot V_2 - \frac{{\rho_1 \cdot V_2 \cdot V_2 \cdot T_2}}{{T_1}}\]
\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 \cdot \frac{{100m_2}}{{400}} - \frac{{\rho_1 \cdot \frac{{100m_2}}{{400}} \cdot \frac{{100m_2}}{{400}} \cdot T_2}}{{T_1}}\]
\[m_2 - m_1 = 4 \cdot \rho_1 \cdot \frac{{100 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}}}{{400}} - \frac{{\rho_1 \cdot \frac{{100 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}}}}{{400}} \cdot \frac{{100 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}}}}{{400}} \cdot T_2\]

Теперь можем упростить это выражение:

\[m_2 - m_1 = \rho_1 \cdot \frac{{100 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}}}{{100}} - \frac{{\rho_1 \cdot \frac{{100 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}}}}{{400}} \cdot \frac{{100 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}}}}{{400}} \cdot T_2\]
\[m_2 - m_1 = \rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}} - \frac{{\rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}}}{4}\]
\[m_2 - m_1 = \rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}} - \frac{{\rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300 \cdot T_1}}{{25 \cdot T_2}}}}}{4}\]
\[m_2 - m_1 = \frac{{3 \cdot \rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300}}{{25}}}}}{4 \cdot \sqrt{\frac{{T_2}}{{T_1}}}} - \frac{{\rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300}}{{25}}}}}{4 \cdot \sqrt{\frac{{T_2}}{{T_1}}}}\]
\[m_2 - m_1 = \frac{{\rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300}}{{25}}}}}{4 \cdot \sqrt{\frac{{T_2}}{{T_1}}}}\]
\[m_2 - m_1 = \frac{{\rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300}}{{25}}}}}{4 \cdot \sqrt{\frac{{T_2}}{{T_1}}}}\]

Таким образом, масса воздуха уменьшится на \(\frac{{\rho_1 \cdot \sqrt{\frac{{300}}{{25}}}}}{4 \cdot \sqrt{\frac{{T_2}}{{T_1}}}}\) граммов при повышении температуры с 27°C до 127