Найди экстремумы функции y=4x−8cosx на интервале x∈[−π/2;π] и объясни их характер

Antonovich

24

Хорошо, давайте начнем с решения задачи.

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого применим правило дифференцирования для суммы и правило дифференцирования для произведения:

\[y"(x) = 4 - 8(-\sin x) = 4 + 8\sin x\]

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Решим уравнение \(y"(x) = 0\):

\[4 + 8\sin x = 0\]

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

\[8\sin x = -4\]

Теперь разделим обе части на 8:

\[\sin x = -\frac{1}{2}\]

Мы знаем, что на интервале \([-\pi/2; \pi]\) значения \(\sin x\) равны \(-1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1\). Таким образом, мы получаем две точки, в которых производная равна нулю: \(x_1 = -\frac{\pi}{6}\) и \(x_2 = \frac{7\pi}{6}\).

3. Теперь нам нужно проверить, являются ли эти точки экстремумами. Для этого рассмотрим знаки производной в окрестностях найденных точек.

Мы знаем, что функция \(\cos x\) имеет максимальное значение 1 и минимальное значение -1. Поэтому в точке \(x_1 = -\frac{\pi}{6}\) функция \(y(x)\) будет иметь следующее значение:

\[y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 4\left(-\frac{\pi}{6}\right) - 8\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{2\pi}{3} - 8\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -8.36\]

Аналогично, в точке \(x_2 = \frac{7\pi}{6}\) функция \(y(x)\) будет иметь следующее значение:

\[y\left(\frac{7\pi}{6}\right) = 4\left(\frac{7\pi}{6}\right) - 8\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{14\pi}{3} + 8\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 27.74\]

4. Итак, мы получили две точки экстремума функции: \(x_1 = -\frac{\pi}{6}\) и \(x_2 = \frac{7\pi}{6}\). В точке \(x_1\) функция достигает локального минимума, а в точке \(x_2\) - локального максимума.

Причина такого поведения функции можно объяснить следующим образом: при \(x_1 = -\frac{\pi}{6}\) функция достигает минимума, так как в этой точке значения синуса отрицательны и отрицательное слагаемое \(8\sin x\) прибавляется к положительному слагаемому \(4\), что приводит к уменьшению значения функции. Аналогично, при \(x_2 = \frac{7\pi}{6}\) функция достигает максимума, так как в этой точке значения синуса положительны и положительное слагаемое \(8\sin x\) прибавляется к положительному слагаемому \(4\), что приводит к увеличению значения функции.