Перечислите, какие из следующих функций возрастают, а какие убывают на всей числовой оси: y = 5^x, y = 3^(x-1

Lunnyy_Homyak

30

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности и определим, является ли она возрастающей или убывающей на всей числовой оси.

1. Функция y = 5^x:
Для определения возрастания или убывания этой функции рассмотрим ее производную. Производная функции y = 5^x равна (\(d/dx(5^x) = 5^x \cdot \ln(5)\)). Здесь \(\ln(5)\) - натуральный логарифм числа 5. Из производной видно, что функция имеет положительную производную на всей числовой оси (так как \(5^x\) всегда положительно, а \(\ln(5)\) также положителен), следовательно, она является возрастающей функцией.

2. Функция y = 3^(x-1):
Также рассмотрим производную этой функции. Производная функции y = 3^(x-1) равна (\(d/dx(3^(x-1)) = 3^(x-1) \cdot \ln(3)\)). Аналогично первой функции, из производной мы видим, что функция имеет положительную производную на всей числовой оси, следовательно, она является возрастающей.

3. Функция y = (1/3)^x:
Рассмотрим производную этой функции. Производная функции y = (1/3)^x равна (\(d/dx((1/3)^x) = -(\ln(3) / 3^x)\)). В данном случае производная всегда отрицательна, поэтому эта функция является убывающей.

4. Функция y = (1/2)^(1-x):
Производная функции y = (1/2)^(1-x) равна (\(d/dx((1/2)^(1-x)) = \ln(2) \cdot (1/2)^(1-x)\)). Так как \(\ln(2)\) положительно, а \((1/2)^(1-x)\) всегда положительно при положительном значении \(x\), то производная положительна. Значит, эта функция является возрастающей.

5. Функция y = 2^(-x):
Производная функции y = 2^(-x) равна (\(d/dx(2^(-x)) = -\ln(2) \cdot 2^(-x)\)). Так как \(\ln(2)\) положительно, а \(2^(-x)\) всегда положительно при положительном значении \(x\), то производная отрицательна. Значит, эта функция является убывающей.

6. Функция y = 3^x / 4^(x-1):
Вначале упростим данную функцию. Путем преобразований выражения мы получим \(y = 3^x / (4^x/4)\). Затем приведем дробь к общему знаменателю: \(y = (3^x \cdot 4) / 4^x\). Упростим выражение: \(y = 3^x \cdot (4/4^x)\). Теперь рассмотрим производную функции. Производная функции y = 3^x равна (\(d/dx(3^x) = 3^x \cdot \ln(3)\)) и производная функции y = (4/4^x) равна (\(d/dx(4/4^x) = -\ln(4) \cdot (4/4^x)\)). Так как \(\ln(3)\) и \(-\ln(4)\) являются константами, и \(3^x\) всегда положительно, а \((4/4^x)\) всегда положительно при положительном значении \(x\), то производная равна \(3^x \cdot (4/4^x) \cdot \ln(3) \cdot (-\ln(4))\). Видно, что производная может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от \(x\). Следовательно, эта функция является изменяющейся.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос: функции y = 5^x, y = 3^(x-1), y = (1/2)^(1-x) возрастают на всей числовой оси, а функции y = (1/3)^x, y = 2^(-x), y = 3^x / 4^(x-1) — убывают на всей числовой оси.