Найди решения следующего уравнения и упорядочи их по возрастанию: 121z+121−z3−z2=0. Решения: z1=; z2

Примула

1

Для начала, давайте перепишем уравнение в правильной форме:
\[z^3 + z^2 - 121z - 121 = 0\]

Чтобы найти решения этого уравнения, мы можем воспользоваться графическим или алгебраическим методом. Давайте воспользуемся алгебраическим методом и попытаемся разложить уравнение на множители.

Выполним факторизацию:
\[z^3 + z^2 - 121z - 121 = (z - 1)(z^2 + 2z + 121) = 0\]

Теперь у нас есть два уравнения:
1. \(z - 1 = 0\) — этому уравнению удовлетворяет единственное решение \(z_1 = 1\).
2. \(z^2 + 2z + 121 = 0\) — это квадратное уравнение, которое можно решить, используя квадратное уравнение. Вычислим дискриминант этого уравнения:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 121 = 4 - 484 = -480\]

Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет рациональных корней. Однако мы можем найти комплексные корни, используя формулу:

\[z_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляя значения, получаем:

\[z_2 = \frac{-2 + \sqrt{-480}}{2} = -1 + \frac{\sqrt{480}i}{2} = -1 + 4\sqrt{30}i\]

\[z_3 = \frac{-2 - \sqrt{-480}}{2} = -1 - \frac{\sqrt{480}i}{2} = -1 - 4\sqrt{30}i\]

Итак, решения уравнения \(z^3 + z^2 - 121z - 121 = 0\) упорядочены по возрастанию следующим образом:
\[z_1 = 1, \quad z_2 = -1 + 4\sqrt{30}i, \quad z_3 = -1 - 4\sqrt{30}i\]