Чему равно значение выражения (a+2)^2 + (2/(a+t)), если (a^2+2)/a=t?

Екатерина_2754

16

Для начала, мы замечаем, что дано условие (a^2+2)/a=t. Для удобства заменим a на x, чтобы избежать путаницы между переменной a и числом a. Таким образом, имеем x^2+2/x=t.

Перейдем к решению задачи. Нам нужно найти значение выражения (x+2)^2 + (2/(x+t)).

Сначала возводим (x+2) в квадрат, используя формулу (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

(x+2)^2 = (x+2)(x+2) = x^2 + 4x + 4.

Теперь рассмотрим второе слагаемое, (2/(x+t)). У нас есть условие (x^2 + 2)/x = t, поэтому можем записать x^2 + 2 = tx. Домножим обе части на x+t, чтобы избавиться от знаменателя:

(x^2 + 2)(x+t) = tx(x+t).

Раскроем скобки:

x^3 + tx^2 + 2x + 2t = tx^2 + t^2x.

Теперь приведем подобные слагаемые и перенесем все влево:

x^3 - t^2x + 2x - tx^2 - 2t = 0.

Далее факторизуем это уравнение. Заметим, что у нас есть общий множитель x:

x(x^2 - t^2) + 2(x - t) = 0.

Факторизовав, получаем:

(x - t)(x^2 - t^2 + 2) = 0.

Теперь разберемся с вторым множителем, x^2 - t^2 + 2. Мы можем записать это как (x - t)(x + t) + 2.

Таким образом, наше уравнение становится:

(x - t)(x + t) + 2(x - t) = 0.

Снова у нас есть общий множитель (x - t), поэтому можем привести подобные слагаемые:

(x - t)((x + t) + 2) = 0.

(x + t) + 2 = 0, x - t = 0.

Из первого уравнения находим значение x:

x = -t - 2.

Теперь, чтобы найти значение выражения (x+2)^2 + (2/(x+t)), подставим найденное значение x в выражение:

((-t - 2) + 2)^2 + (2/((-t - 2) + t)).

((-t)^2) + (2/(-t)), упростим:

t^2 - 2/t.

Таким образом, значение выражения (a+2)^2 + (2/(a+t)), при условии (a^2+2)/a=t, равно t^2 - 2/t.