Найдите длину катета, противолежащего другому острому углу, в прямоугольном треугольнике, в котором один из острых

Щука

62

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая устанавливает соотношение между длинами сторон треугольника и синусами его углов.

В данном случае у нас есть прямоугольный треугольник, поэтому один из его углов равен 90 градусам. Угол противолежащий катету, который нам нужно найти, равен 60 градусам.

Теорема синусов говорит нам, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех трех сторон треугольника.

Обозначим длину катета, противолежащего углу в 60 градусов, как \(x\). Длина гипотенузы обозначена \(c\), и угол между гипотенузой и катетом равен 90 градусов.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

В нашем случае, длина катета \(x\) и длина гипотенузы \(c\) известны. Мы хотим найти длину другого катета, поэтому обозначим его как \(y\). Тогда у нас получается следующее уравнение:

\[x^2 + y^2 = c^2\]

Мы также знаем, что угол между гипотенузой и катетом равен 90 градусам. Это означает, что синус угла в 60 градусов равен отношению длины катета \(x\) к длине гипотенузы \(c\). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[\sin(60^\circ) = \frac{x}{c}\]

Теперь, используя тригонометрическое соотношение для синуса угла в 60 градусов, получаем:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{c}\]

Разрешим это уравнение относительно \(x\):

\[x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c\]

Таким образом, длина катета, противолежащего углу в 60 градусов, равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) умноженное на длину гипотенузы \(c\).

Надеюсь, это решение ясно и понятно для вас!