Найдите длину меньшего основания прямоугольной трапеции, в которой острый угол составляет 30 градусов, меньшая боковая

Магический_Космонавт

42

Давайте начнем с изображения прямоугольной трапеции для лучшего понимания задачи.

_______
/ \
/ \
/ \
/ \
/_____________\

В задаче указано, что острый угол трапеции составляет 30 градусов. Таким образом, острый угол находится либо у вершины с меньшим основанием, либо у вершины с большим основанием. Давайте выберем вершину с меньшим основанием для нашего решения.

Задача также говорит, что меньшая боковая сторона трапеции равна 10 см. Пусть эта сторона обозначена как \(a\).

Чтобы решить задачу, нам нужно найти длину меньшего основания трапеции. Обозначим эту длину как \(x\).

Обратите внимание, что наш острый угол составляет 30 градусов. Это означает, что смежные к нему углы равны 150 градусам в сумме. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник внутри трапеции, образованный меньшей боковой стороной (\(a\)), частью меньшего основания (\(x\)) и высотой трапеции.

Этот треугольник имеет следующие стороны:

o
/|
x / |
/ |h
/___|
a

В нем нам известна боковая сторона \(a = 10\) см и угол \(с = 30\) градусов. Мы ищем длину основания \(x\). Чтобы найти его, мы можем использовать тригонометрию. Точнее, мы можем использовать тангенс угла \(с\).

Тангенс угла \(с\) равен отношению противоположной стороны (высоты трапеции) к прилежащей стороне (меньшему основанию трапеции):

\(\tan(с) = \frac{h}{a}\)

Мы знаем, что \(\tan(30°)\) равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), так как \(\tan(30°) = \frac{\sin(30°)}{\cos(30°)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Подставим известные значения в уравнение:

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10}\)

Чтобы найти \(h\), умножим обе стороны на 10 и получим:

\(h = \frac{10}{\sqrt{3}}\)

Теперь мы знаем высоту треугольника в трапеции. Мы также видим, что высота \(h\) соответствует одной из сторон прямоугольного треугольника с гипотенузой \(a\) и углом \(с\), значит, это есть вторая сторона этого прямоугольного треугольника.

Можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину меньшего основания треугольника \(x\):

\(x^2 = a^2 - h^2\)

Подставим значения:

\(x^2 = 10^2 - \left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^2\)

\(x^2 = 100 - \frac{100}{3}\)

\(x^2 = \frac{200 - 100}{3}\)

\(x^2 = \frac{100}{3}\)

Теперь найдем значение \(x\), извлекая квадратный корень обеих сторон:

\(x = \sqrt{\frac{100}{3}}\)

\(x = \frac{10}{\sqrt{3}}\)

Таким образом, мы получили длину меньшего основания треугольника: \(x = \frac{10}{\sqrt{3}}\) см.

Итак, длина меньшего основания прямоугольной трапеции равна \(\frac{10}{\sqrt{3}}\) см.