Найдите длину отрезка PQ, если сторона квадрата ABCD равна

Pchelka_5086

33

Давайте рассмотрим эту задачу подробнее. Длина отрезка PQ можно найти, используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора устанавливает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, отрезок PQ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а сторона квадрата ABCD - одним из катетов.

Пусть сторона квадрата ABCD равна \(x\). Тогда, каждая из других сторон квадрата также будет равна \(x\) (поскольку все стороны квадрата равны между собой).

Отрезок PQ является диагональю квадрата ABCD и делит его на два прямоугольных треугольника. Обозначим точку пересечения диагонали со стороной квадрата как точку E.

Точка E делит сторону квадрата на две равные части, поскольку диагональ квадрата делит его пополам. Таким образом, отрезок AE и отрезок CE равны \(\frac{x}{2}\).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AEP (где P - середина диагонали) для нахождения длины отрезка AE.

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы по теореме Пифагора. В данном случае катеты равны \(\frac{x}{2}\), а гипотенуза - длина отрезка AE. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = AE^2\)

Упростим это уравнение:

\(\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = AE^2\)

\(\frac{2x^2}{4} = AE^2\)

\(\frac{x^2}{2} = AE^2\)

Теперь найдем длину отрезка PQ. Поскольку AEP и QEP - подобные треугольники, и AE и EP - соответственные стороны этих треугольников, отношение длин AE к длине EP будет таким же, как и отношение длин PQ к длине PE.

То есть \(\frac{AE}{EP} = \frac{PQ}{PE}\)

Мы уже знаем, что AE равно \(\sqrt{\frac{x^2}{2}}\), а также знаем, что точка E делит сторону квадрата на две равные части, следовательно, EP равно \(\frac{x}{2}\).

Подставляем значения:

\(\frac{\sqrt{\frac{x^2}{2}}}{\frac{x}{2}} = \frac{PQ}{PE}\)

Упростим выражение:

\(\frac{2\sqrt{\frac{x^2}{2}}}{x} = \frac{PQ}{PE}\)

\(\frac{2x}{x} = \frac{PQ}{PE}\)

Теперь мы можем сказать, что \(PQ = 2 \cdot PE\).

Длина отрезка PE равна половине длины стороны квадрата: \(PE = \frac{x}{2}\).

Тогда, подставляя это значение, мы получим:

\(PQ = 2 \cdot \frac{x}{2} = x\)

Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что длина отрезка PQ равна длине стороны квадрата ABCD и равна \(x\).