Найдите длину стороны и площадь равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности вокруг этого

Kosmos

65

Для решения этой задачи нам необходимо запомнить некоторые свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все три стороны равны между собой, а высота, проведенная из вершины к стороне, делит треугольник на два прямоугольных треугольника со сторонами, включая высоту, в пропорции 1:2.

Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна \(a\), а радиус описанной окружности вокруг треугольника равен \(R\).

Известно, что для равностороннего треугольника радиус описанной окружности связан с длиной стороны следующим образом: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Найдем длину стороны треугольника, используя данное соотношение:
\[a = R \times \sqrt{3}\]

Теперь, найдем площадь равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{a^2 \times \sqrt{3}}{4}\]

Подставим значение \(a\) в формулу для площади и выразим ее:
\[S = \frac{(R \times \sqrt{3})^2 \times \sqrt{3}}{4}\]

\[S = \frac{3R^2 \times \sqrt{3}}{4}\]

Таким образом, мы нашли длину стороны и площадь равностороннего треугольника, если известен радиус описанной окружности вокруг этого треугольника.