Найдите функцию F(x), производная которой равна f(x)=2sin(6x+3)-4x

Maksimovna

64

Конечно! Чтобы найти функцию \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) = 2\sin(6x+3) - 4x \), мы будем интегрировать \( f(x) \).

Шаг 1: Найдём первообразную функции \( f(x) \).

Заметим, что \( \int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C \), где \( C \) является произвольной постоянной.

Теперь мы можем пошагово найти первообразную функции \( f(x) \). Для этого раскроем функцию \( f(x) \) и заменим \( 6x + 3 \) на \( u \):

\[ f(x) = 2\sin(6x+3) - 4x \]
\[ f(x) = 2\sin(u) - 4x \]

Теперь будем искать первообразную функции:

\[ \int f(x) \, dx = \int (2\sin(u) - 4x) \, dx \]
\[ \int f(x) \, dx = 2\int \sin(u) \, du - 4\int x \, dx \]

Шаг 2: Найдём интегралы отдельных частей.

\[ \int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C_1 \]
\[ \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2 \]

Где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные константы.

Шаг 3: Составим первообразную функции \( f(x) \), обратно заменяя \( u \) обратно на \( 6x + 3 \):

\[ \int f(x) \, dx = 2(-\cos(6x+3)) + C_1 - 4(\frac{1}{2}x^2) + C_2 \]

Теперь объединим постоянные и упростим выражение:

\[ \int f(x) \, dx = -2\cos(6x+3) - 2x^2 + C \]

Где \( C = C_1 + C_2 \) - произвольная константа.

В результате, функция \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = -2\cos(6x+3) - 2x^2 + C \]

Это и есть функция \( F(x) \) с производной \( f(x) = 2\sin(6x+3) - 4x \).