Найдите индуктивность контура в колебательном контуре, если напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону
Найдите индуктивность контура в колебательном контуре, если напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону u=50cos 10^4 πt, а ёмкость конденсатора составляет 0,4 мкФ. Варианты ответов: 1) 2,5 мГн 2) 2 мГн 3) 3,5 мГн 4) 3,5 мкГн
Amina 45
Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.Итак, дано:
Напряжение на обкладках конденсатора \(u = 50\cos(10^4 \pi t)\)
Ёмкость конденсатора \(C = 0.4 \, \text{мкФ}\)
Мы хотим найти индуктивность контура (L).
Для этого вспомним, что в колебательном контуре с омическим сопротивлением R, емкостью C и индуктивностью L, сопротивление образует контур по формуле:
\[
Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}
\]
где \(X_L = 2\pi fL\) - индуктивное сопротивление, а \(X_C = \frac{1}{2\pi fC}\) - емкостное сопротивление.
Здесь \(f\) - частота.
Перепишем уравнение напряжения, заменив \(u\) на \(u_0\cos(\omega t)\), где \(u_0\) - амплитуда:
\[
u_0\cos(\omega t) = 50 \cos(10^4 \pi t)
\]
Сравнение этого уравнения с исходным уравнением показывает, что \(u_0 = 50\) и \(\omega = 10^4 \pi\).
Теперь, найдем \(X_L\) и \(X_C\):
\[
X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \cdot \frac{\omega}{2 \pi} \cdot L = \omega L
\]
\[
X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \cdot \frac{\omega}{2 \pi} \cdot C} = \frac{1}{\omega C}
\]
Подставим значения:
\[
X_L = (\omega)(L) = (10^4 \pi)(L) = 10000 \pi L
\]
\[
X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{10^4 \pi \cdot 0.4 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{4 \pi} \cdot 10^2
\]
Теперь, подставим значения \(X_L\) и \(X_C\) в исходное уравнение для \(Z\):
\[
Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (10000 \pi L - \frac{1}{4 \pi} \cdot 10^2)^2}
\]
Так как у нас не даны значения для омического сопротивления \(R\), мы не можем решить этот уравнение точно. Однако, мы можем выбрать наиболее близкий вариант ответа, который наиболее соответствует нашим рассчетам.
Давайте рассчитаем значения для каждого варианта ответа и выберем наиболее подходящий.
1) Для варианта ответа 1: индуктивность контура \(L = 2.5 \, \text{мГн}\)
2) Для варианта ответа 2: индуктивность контура \(L = 2 \, \text{мГн}\)
3) Для варианта ответа 3: индуктивность контура \(L = 3.5 \, \text{мГн}\)
4) Для варианта ответа 4: индуктивность контура \(L = 3.5 \, \text{мкГн}\)
Используя значения \(L\), \(R\), \(\omega\), и \(C\), подставим их в уравнение \(Z\) и рассчитаем.
Посмотрим, какой вариант ответа дает наиболее близкое значение для \(Z\). Это будет правильный ответ, который соответствует данной задаче.