Найдите интеграл от x^3dx/квадратный корень(x-7

Антонович

27

Конечно! Для нахождения интеграла функции \(\frac{{x^3}}{{\sqrt{{x-7}}}}\) начнем с использования метода замены переменной \(u\).

Шаг 1: Проведем замену переменной.
Положим \(u = x-7\), тогда \(du = dx\).
Теперь наша задача - выразить наш интеграл через новую переменную \(u\).

Шаг 2: Подставим найденные выражения в наш интеграл.
\[\int \frac{{x^3}}{{\sqrt{{x-7}}}} dx = \int \frac{{(u+7)^3}}{{\sqrt{u}}} du\]

Шаг 3: Вынесем константу из-под знака интеграла (она не изменяет значение интеграла).
\[\int \frac{{(u+7)^3}}{{\sqrt{u}}} du = \int (u+7)^3 u^{-\frac{1}{2}}du\]

Шаг 4: Раскроем скобки.
\[\int (u+7)^3 u^{-\frac{1}{2}}du = \int (u^3 + 3u^2 \cdot 7 + 3u \cdot 7^2 + 7^3)u^{-\frac{1}{2}}du\]

Шаг 5: Упростим интеграл.
\[\int (u^3 + 3u^2 \cdot 7 + 3u \cdot 7^2 + 7^3)u^{-\frac{1}{2}}du = \int u^{\frac{3}{2}} + 21u + 3 \cdot 7^2u^{\frac{1}{2}} + 7^3u^{-\frac{1}{2}}du\]

Шаг 6: Проинтегрируем каждый член по отдельности.
\[\int u^{\frac{3}{2}} + 21u + 3 \cdot 7^2u^{\frac{1}{2}} + 7^3u^{-\frac{1}{2}}du = \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} + \frac{21}{2}u^2 + \frac{2 \cdot 7^2}{3}u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 7^3u^{\frac{1}{2}} + C\]

Шаг 7: Подстановка обратной переменной.
Вспомним, что мы провели замену \(u = x-7\).
Подставим \(x-7\) обратно в полученное выражение.
\[\frac{2}{5}(x-7)^{\frac{5}{2}} + \frac{21}{2}(x-7)^2 + \frac{2 \cdot 7^2}{3}(x-7)^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 7^3(x-7)^{\frac{1}{2}} + C\]

Итак, интеграл от функции \(\frac{{x^3}}{{\sqrt{{x-7}}}}\) равен \(\frac{2}{5}(x-7)^{\frac{5}{2}} + \frac{21}{2}(x-7)^2 + \frac{2 \cdot 7^2}{3}(x-7)^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 7^3(x-7)^{\frac{1}{2}} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.