Найдите количество целых решений неравенства f (x) < 0, где f(x) = 2x^3 - 6x^2

Магия_Звезд

45

Конечно! Давайте решим задачу по шагам.

1. Сначала нам нужно найти производные функции f(x) два раза. Для этого мы будем использовать правило степенной функции и правило для констант:
Правило степенной функции: \((x^n)" = n \cdot x^{n-1}\)
Правило для константы: \((c)" = 0\), где \(c\) - это любая константа.

Применяя эти правила, найдем первую и вторую производные для функции \(f(x)\):
Первая производная: \(f"(x) = (2 \cdot 3x^{3-1}) - (6 \cdot 2x^{2-1}) = 6x^2 - 12x\)
Вторая производная: \(f""(x) = 6 \cdot 2x^{2-1} - 12 = 12x - 12\)

2. Теперь неравенство у нас будет выглядеть следующим образом: \(f""(x) < 0\)

3. Для решения этого неравенства нам нужно найти все значения \(x\), для которых вторая производная \(f""(x)\) меньше нуля.

4. Чтобы найти значения \(x\), нам нужно решить уравнение \(f""(x) = 0\). Подставим в него нашу вторую производную:
\(12x - 12 = 0\)

5. Решим это уравнение:
\(12x = 12\)
\(x = \frac{12}{12}\)
\(x = 1\)

6. Теперь мы знаем, что при \(x = 1\) вторая производная равна нулю. Нам нужно выяснить, что происходит с второй производной, когда \(x\) меньше и больше единицы.

7. Попробуем подставить вторую производную \(f""(x)\) значение, меньшее единицы, например, \(x = 0\):
\(f""(0) = 12 \cdot 0 - 12 = -12\)

8. Попробуем подставить вторую производную \(f""(x)\) значение, большее единицы, например, \(x = 2\):
\(f""(2) = 12 \cdot 2 - 12 = 12\)

9. Таким образом, мы увидели, что когда \(x < 1\), вторая производная \(f""(x)\) меньше нуля, а когда \(x > 1\), она больше нуля.

10. Так как мы ищем значения \(x\), при которых вторая производная \(f""(x)\) меньше нуля, то нам нужно найти интервал, на котором выполняется это условие.

11. Из результатов, полученных на шагах 7 и 8, мы видим, что только значениям \(x\) в интервале \(x < 1\) соответствует \(f""(x) < 0\).

12. Таким образом, количество целых решений неравенства \(f""(x) < 0\) равно количеству целых чисел в интервале \(x < 1\). Чтобы найти это количество, мы можем перечислить все целые числа, меньшие единицы, или воспользоваться интуицией, что целых чисел между отрицательной бесконечностью и единицей бесконечно много.

Таким образом, количество целых решений неравенства \(f""(x) < 0\) равно бесконечности.