Найдите координаты точки M на оси Oy, которая находится на равном расстоянии от точек A(−1;7;1) и B(3;11;5). 1) Если

Борис

19

Хорошо, давайте решим задачу.

1) Для начала найдем расстояние между точками A и B. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставим координаты точек A и B в формулу:

\[d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (11 - 7)^2 + (5 - 1)^2}\]
\[d = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2}\]
\[d = \sqrt{48}\]

2) Так как точка M находится на равном расстоянии от точек A и B, то расстояние от точки M до точки A и от точки M до точки B будет одинаковым. Пусть координата точки M по оси Oy будет y.

Теперь рассмотрим расстояние от точки M до точки A:

\[d_1 = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (y - 7)^2 + (0 - 1)^2}\]
\[d_1 = \sqrt{1^2 + (y - 7)^2 + 1^2}\]

И расстояние от точки M до точки B:

\[d_2 = \sqrt{(0 - 3)^2 + (y - 11)^2 + (0 - 5)^2}\]
\[d_2 = \sqrt{3^2 + (y - 11)^2 + 5^2}\]

Поскольку расстояние одинаково, то можно записать уравнение:

\[\sqrt{1^2 + (y - 7)^2 + 1^2} = \sqrt{3^2 + (y - 11)^2 + 5^2}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[1 + (y - 7)^2 + 1 = 3^2 + (y - 11)^2 + 5^2\]
\[2 + (y - 7)^2 = 9 + (y - 11)^2 + 25\]

Раскроем скобки:

\[2 + y^2 - 14y + 49 = 9 + y^2 - 22y + 121 + 25\]
\[y^2 - 14y + 2 - 9 - y^2 + 22y - 146 = -25\]

Упростим:

\[8y - 153 = -25\]
\[8y = -25 + 153\]
\[8y = 128\]
\[y = \frac{128}{8}\]
\[y = 16\]

3) Итак, координата точки M по оси Oy равна 16. Таким образом, координаты точки M равны (0, 16, 0).

Ответ: Координаты точки M на оси Oy равны (0, 16, 0).