Найдите косинус угла α между прямыми BN и CM в кубе ABCDA1B1C1D1, если B1N:NC1=1:3 и C1M:MD1=1:4 при длине ребра куба

Vodopad

3

Пусть длина ребра куба \(AB\) равна \(x\).

Дано, что отношение \(B_1N : NC_1 = 1 : 3\) и \(C_1M : MD_1 = 1 : 4\).

Чтобы найти косинус угла \(\alpha\) между прямыми \(BN\) и \(CM\), мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

\[\cos(\alpha) = \frac{{\vec{BN} \cdot \vec{CM}}}{{\|\vec{BN}\| \cdot \|\vec{CM}\|}} \]

Теперь пошагово найдем все значения, необходимые для вычисления косинуса угла:

1. Выразим векторы \(\vec{BN}\) и \(\vec{CM}\) через координаты точек:
- Вектор \(\vec{BN}\) можно представить как разность между координатами точек \(B\) и \(N\):
\(\vec{BN} = \vec{B} - \vec{N}\)
- Вектор \(\vec{CM}\) можно представить как разность между координатами точек \(C\) и \(M\):
\(\vec{CM} = \vec{C} - \vec{M}\)

2. Рассчитаем значения для координат точек:
- Так как сторона куба равна \(x\), координаты точек имеют следующие значения:
\(\vec{A} = (0, 0, 0)\)
\(\vec{B} = (x, 0, 0)\)
\(\vec{C} = (x, x, 0)\)
\(\vec{D} = (0, x, 0)\)
\(\vec{A_1} = (0, 0, x)\)
\(\vec{B_1} = (x, 0, x)\)
\(\vec{C_1} = (x, x, x)\)
\(\vec{D_1} = (0, x, x)\)

3. Рассчитаем значения для векторов \(\vec{BN}\) и \(\vec{CM}\):
- Вектор \(\vec{BN}\) можно выразить как разность между координатами точек \(B\) и \(N\):
\(\vec{BN} = \vec{B} - \vec{N} = (x, 0, 0) - (x, 0, x) = (0, 0, -x)\)
- Вектор \(\vec{CM}\) можно выразить как разность между координатами точек \(C\) и \(M\):
\(\vec{CM} = \vec{C} - \vec{M} = (x, x, 0) - (0, x, x) = (x, -x, -x)\)

4. Рассчитаем значения для нормы этих векторов:
- Норма вектора \(\vec{BN}\) равна:
\(\|\vec{BN}\| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-x)^2}\)
- Норма вектора \(\vec{CM}\) равна:
\(\|\vec{CM}\| = \sqrt{(x)^2 + (-x)^2 + (-x)^2}\)

5. Рассчитаем значение для скалярного произведения этих векторов:
- Скалярное произведение векторов \(\vec{BN}\) и \(\vec{CM}\) равно:
\(\vec{BN} \cdot \vec{CM} = (0, 0, -x) \cdot (x, -x, -x) = 0 \cdot x + 0 \cdot (-x) + (-x) \cdot (-x) = x^2\)

6. Подставим все значения в формулу для косинуса угла \(\alpha\):
\(\cos(\alpha) = \frac{{\vec{BN} \cdot \vec{CM}}}{{\|\vec{BN}\| \cdot \|\vec{CM}\|}} = \frac{{x^2}}{{\sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-x)^2} \cdot \sqrt{(x)^2 + (-x)^2 + (-x)^2}}}\)

Итак, мы получили выражение для косинуса угла \(\alpha\) между прямыми \(BN\) и \(CM\) в кубе.

Однако, чтобы получить точное значение \(\cos(\alpha)\), нам необходимо знать значение \(x\), то есть длину ребра куба. Если вы укажете значение \(x\), я смогу рассчитать конкретное числовое значение косинуса угла \(\alpha\).