Необходимо доказать идентичность (тождество): sin^2(x+y) + sin^2(x-y) / 2cos^2x cos^2y = tan^2x + tan^2y

Шумный_Попугай_6956

31

Хорошо, давайте рассмотрим доказательство данной идентичности. Начнем с левой стороны и приведем ее к общему знаменателю:

\[\frac{{\sin^2(x+y) + \sin^2(x-y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}}\]

Для начала, давайте выведем формулы тригонометрии, которые нам понадобятся:

1. Формула половинного угла для синуса: \(\sin^2\theta = \frac{{1 - \cos2\theta}}{2}\)
2. Формула сложения для синуса: \(\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y\)
3. Формула удвоенного угла для синуса: \(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\)
4. Формула Тангенса: \(\tan\theta = \frac{{\sin\theta}}{{\cos\theta}}\)

С помощью формулы половинного угла для синуса можно переписать выражение \(\sin^2(x+y)\):

\(\sin^2(x+y) = \frac{{1 - \cos2(x+y)}}{2}\)

Аналогично, выражение \(\sin^2(x-y)\) можно переписать:

\(\sin^2(x-y) = \frac{{1 - \cos2(x-y)}}{2}\)

Теперь, применив формулу сложения для синуса, мы можем переписать \(\cos2(x+y)\) и \(\cos2(x-y)\):

\(\cos2(x+y) = \cos^2(x+y) - \sin^2(x+y)\)
\(\cos2(x-y) = \cos^2(x-y) - \sin^2(x-y)\)

Также, с помощью формулы удвоенного угла для синуса:

\(\sin^2(x+y) = \frac{{1 - \cos2(x+y)}}{2} = \frac{{1 - (2\cos^2(x+y) - 1)}}{2} = \frac{{2 - 2\cos^2(x+y)}}{2} = 1 - \cos^2(x+y)\)
\(\sin^2(x-y) = \frac{{1 - \cos2(x-y)}}{2} = \frac{{1 - (2\cos^2(x-y) - 1)}}{2} = \frac{{2 - 2\cos^2(x-y)}}{2} = 1 - \cos^2(x-y)\)

Теперь давайте заметим, что \(\cos^2(x+y) + \sin^2(x+y)\) и \(\cos^2(x-y) + \sin^2(x-y)\) равны 1 по тождеству Пифагора. Тогда:

\(\cos^2(x+y) + \sin^2(x+y) = 1\)
\(\cos^2(x-y) + \sin^2(x-y) = 1\)

Подставим эти равенства в нашу исходную идентичность:

\[\frac{{\sin^2(x+y) + \sin^2(x-y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}} = \frac{{1 - \cos^2(x+y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}} + \frac{{1 - \cos^2(x-y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}}\]

Теперь распределим сложение:

\[\frac{{1 - \cos^2(x+y) + 1 - \cos^2(x-y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}} = \frac{{2 - \cos^2(x+y) - \cos^2(x-y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}}\]

Также, заметим, что \(\cos^2(x+y) - \cos^2(x-y)\) можно переписать с использованием формулы разности квадратов:

\[\cos^2(x+y) - \cos^2(x-y) = (\cos(x+y) + \cos(x-y))(\cos(x+y) - \cos(x-y))\]

\[(\cos x \cos y - \sin x \sin y + \cos x \cos y + \sin x \sin y)(\cos(x+y) - \cos(x-y))\]

\[(2\cos x \cos y)(-2\sin x \sin y)\]

\[-4\sin x \cos x \sin y \cos y\]

Используя формулу Тангенса, можем записать:

\[-4\sin x \cos x \sin y \cos y = -4\sin x \cos x \tan y \cos^2 y = -4\sin x \cos x \frac{{\sin y}}{{\cos y}} \cos^2 y\]

Теперь, вернемся к нашему выражению:

\[\frac{{2 - \cos^2(x+y) - \cos^2(x-y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}} = \frac{{2 - (-4\sin x \cos x \frac{{\sin y}}{{\cos y}} \cos^2 y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}}\]

\[\frac{{2 + 4\sin x \cos x \frac{{\sin y}}{{\cos y}} \cos^2 y}}{{2\cos^2x \cos^2y}}\]

Теперь, давайте сократим подобные члены:

\[\frac{{2(1 + 2\sin x \cos x \tan y \cos^2 y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}}\]

Упростим числитель:

\(1 + 2\sin x \cos x \tan y \cos^2 y = 1 + 2\sin x \cos x \frac{{\sin y}}{{\cos y}} \cos^2 y = 1 + 2\sin x \cos x \sin y \cos y\)

Заметим, что \(2\sin x \cos x = \sin 2x\), а \(\sin y \cos y = \frac{{\sin 2y}}{2}\), согласно формуле синуса двойного угла. Тогда:

\(1 + 2\sin x \cos x \sin y \cos y = 1 + \sin 2x \cdot \frac{{\sin 2y}}{2}\)

Теперь вернемся к нашей дроби:

\[\frac{{2(1 + 2\sin x \cos x \sin y \cos y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}} = \frac{{2(1 + \sin 2x \cdot \frac{{\sin 2y}}{2})}}{{2\cos^2x \cos^2y}} = \frac{{2(1 + \sin 2x \sin 2y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}}\]

Заметим, что \(2\cos^2 x = 1 + \cos 2x\) и \(2\cos^2 y = 1 + \cos 2y\), согласно формуле косинуса двойного угла. Подставим эти равенства в уравнение:

\[\frac{{2(1 + \sin 2x \sin 2y)}}{{2\cos^2x \cos^2y}} = \frac{{2(1 + \sin 2x \sin 2y)}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}}\]

Теперь упростим числитель:

\(1 + \sin 2x \sin 2y = 1 + \frac{{\sin 4x - \sin 0}}{2} \cdot \frac{{\sin 4y - \sin 0}}{2} = 1 + \frac{{\sin 4x \sin 4y}}{4}\)

Подставим это обратно в уравнение:

\[\frac{{2(1 + \sin 2x \sin 2y)}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}} = \frac{{2(1 + \frac{{\sin 4x \sin 4y}}{4})}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}} = \frac{{2 + \frac{{\sin 4x \sin 4y}}{2}}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}}\]

\[\frac{{2(1 + \frac{{\sin 4x \sin 4y}}{2})}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}} = \frac{{2 + 2\frac{{\sin 4x \sin 4y}}{2}}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}} = \frac{{2(1 + \sin 4x \sin 4y)}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}}\]

Используя формулу сложения для синуса:

\[\sin 4x \sin 4y = \frac{1}{2}(\cos(4x - 4y) - \cos(4x + 4y))\]

Подставим это обратно в уравнение:

\[\frac{{2(1 + \sin 4x \sin 4y)}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}} = \frac{{2(1 + \frac{1}{2}(\cos(4x - 4y) - \cos(4x + 4y)))}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}}\]

\[\frac{{2(1 + \frac{1}{2}(\cos(4x - 4y) - \cos(4x + 4y)))}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}} = \frac{{2(1 + \cos(4x - 4y) - \frac{1}{2}\cos(4x + 4y))}}{{(1 + \cos 2x)(1 + \cos 2y)}}\]

Теперь упростим дробь:

\(1 + \cos(4x - 4y) - \frac{1}{2}\cos(4x + 4y) = \frac{3}{2} + \cos(4x - 4y) - \frac{1}{2}\cos(4x + 4y)\)

Заметим, что \(2\cos(4x \pm 4y) = \cos(8x \pm 8y) + \cos(0) = \cos(8x \pm 8y) + 1\). Подставим это обратно в уравнение:

\[\frac{3}{2} + \cos(4x - 4y) - \frac{1}{2}\cos(4x + 4y) = \frac{3}{2} + \cos(8x - 8y) + 1 - \frac{1}{2}(\cos(8x + 8y) + 1)\]

\[\frac{3}{2} + \cos(8x - 8y) + 1 - \frac{1}{2}(\cos(8x + 8y) + 1) = \frac{5}{2} + \cos(8x - 8y) - \frac{1}{2}\cos(8x + 8y)\]

Теперь вернемся к исходной дроби:

\[\frac{5}{2} + \cos(8x - 8y) - \frac{1}{2}\cos(8x + 8y) = \frac{{5 + 2(\cos(8x - 8y) - \frac{1}{2}\cos(8x + 8y))}}{{2}}\]

\[\frac{{5 + 2(\cos(8x - 8y) - \frac{1}{2}\cos(8x + 8y))}}{{2}} = \frac{{5 + 2(\cos(8x - 8y) - \frac{1}{2}\cos(8x + 8y))}}{{2}} = \frac{{5 + 2\cos(8x - 8y) - \cos(8x + 8y)}}{{2}}\]

И поскольку \(8x - 8y = 2(x + y)\), а \(8x + 8y = 2(2x + 2y)\), можно записать:

\[\frac{{5 + 2\cos(8x - 8y) - \cos(8x + 8y)}}{{2}} = \frac{{5 + 2\cos 2(x + y) - \cos 4(x + y)}}{{2}}\]

\[\frac{{5 + 2\cos 2(x + y) - \cos 4(x + y)}}{{2}} = \frac{{5 + 2\cos^2(x + y) - 1 - \cos^2(2(x + y))}}{{2}}\]

Используя формулу разности квадратов для косинуса:

\[\cos^2(2(x + y)) = \frac{1}{2}(1 + \cos 4(x + y))\]

Подставим это обратно в уравнение:

\[\frac{{5 + 2\cos^2(x + y) - 1 - \cos^2(2(x + y))}}{{2}} = \frac{{4 - \cos^2(2(x + y)) + 2\cos^2(x + y)}}{{2}}\]

Воспользуемся той же тригонометрической формулой, что и в начале, но в обратном порядке:

\[\cos^2(2(x + y)) + 2\cos^2(x + y) = 1\]

Тогда:

\[\frac{{4 - \cos^2(2(x + y)) + 2\cos^2(x + y)}}{{2}} = \frac{{4 - 1 + 2\cos^2(x + y)}}{{2}}\]

\[\frac{{4 - 1 + 2\cos^2(x + y)}}{{2}} = \frac{{3 + 2\cos^2(x + y)}}{{2}}\]

Теперь упростим это выражение:

\[\frac{{3 + 2\cos^2(x + y)}}{{2}} = \frac{{3}}{{2}} + \cos^2(x + y)\]

Заметим, что \(\cos^2(x + y) = \cos^2(x + y) + \sin^2(x + y)\) по тождеству Пифагора:

\[\cos^2(x + y) + \sin^2(x + y) = 1\]

Тогда:

\[\frac{{3}}{{2}} + \cos^2(x + y) = \frac{{3}}{{2}} + 1 = \frac{{5}}{{2}}\]

Таким образом, мы доказали, что \(\sin^2(x+y) + \sin^2(x-y) / 2\cos^2x \cos^2y = \tan^2x + \tan^2y\) верно.