Найдите меру угла BDK в остроугольном треугольнике ABC, если известно, что перпендикулярные из точки F воздвигающиеся

Zolotoy_Monet

11

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах остроугольных треугольников и перпендикулярных прямых. Давайте рассмотрим каждую часть задачи пошагово.

Шаг 1: Рисуем треугольник ABC и отмечаем точки F, K и D

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ----- F ----- K \\
| \\
| \\
C
\end{array}
\]

Шаг 2: Из условия задачи мы знаем, что угол CFK равен 55 градусам. Обозначим этот угол как \(\angle CFK = 55^\circ\).

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K
\end{array}
\]

Шаг 3: Поскольку ABC - остроугольный треугольник, прямые AK и BD будут перпендикулярными к сторонам BC и AC соответственно. Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника: ABC и BDK.

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K \\
| \\
| \\
D
\end{array}
\]

Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник BDK. У нас есть два угла: \(\angle BDK\) и \(\angle KDB\). Мы хотим найти меру угла BDK, поэтому обозначим ее как \(x^\circ\).

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K \\
| \\
| \\
D ------------ K"
\end{array}
\]

Шаг 5: Заметим, что треугольники BDK и CK"F подобны, поскольку имеют два равных угла: \(\angle DBK = \angle FCK"\) (перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом) и \(\angle BDK = \angle CK"F\) (по построению).

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K \\
| \\
| \\
D ------------ K"
\end{array}
\]

Шаг 6: Мы знаем, что угол CFK равен 55 градусам (по условию задачи), поэтому угол CK"F тоже будет равен 55 градусам (\(\angle CK"F = 55^\circ\)).

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K \----- F" \\
| \\
| \\
D ------------ K"
\end{array}
\]

Шаг 7: Обозначим меру угла CK"F как \(y^\circ\).

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K \\
| \\
| \\
D ------------ K"
\end{array}
\]

Шаг 8: Так как углы в треугольнике CK"F должны суммироваться до 180 градусов, мы можем записать уравнение:

\[55^\circ + y^\circ + \angle CK"F = 180^\circ\]

\[\angle CK"F = 180^\circ - 55^\circ - y^\circ\]

\[\angle CK"F = 125^\circ - y^\circ\]

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K \----- F" \\
| \\
| \\
D ------------ K"
\end{array}
\]

Шаг 9: Но мы знаем, что треугольники BDK и CK"F подобны, поэтому углы \(\angle BDK\) и \(\angle CK"F\) равны.

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K \\
| \\
| \\
D ------------ K" \----- F"
\end{array}
\]

Шаг 10: Мы можем записать уравнение:

\(\angle BDK = 125^\circ - y^\circ\)

\[
\begin{array}{c}
\text{A} \\
| \\
| \\
B ------------ F \\
| \\
| \\
C ------------ K \\
| \\
| \\
D ------------ K" \----- F"
\end{array}
\]

Шаг 11: Но мы хотим найти меру угла BDK, поэтому подставим значение угла \(\angle BDK = x^\circ\):

\[x^\circ = 125^\circ - y^\circ\]

Шаг 12: Теперь нам нужно найти значение \(y\). Обратимся к уравнению из шага 8:

\[\angle CK"F = 125^\circ - y^\circ\]

Мы знаем, что \( \angle CFK = 55^\circ \) (из условия задачи), значит \(\angle CK"F = \angle CFK\). Подставим значение \(\angle CK"F = 55^\circ\) в уравнение:

\[55^\circ = 125^\circ - y^\circ\]

Шаг 13: Решим уравнение относительно \(y\):

\[y^\circ = 125^\circ - 55^\circ\]

\[y^\circ = 70^\circ\]

Шаг 14: Теперь подставим значение \(y = 70^\circ\) в уравнение \(x = 125^\circ - y\) для нахождения значения угла BDK:

\[x^\circ = 125^\circ - 70^\circ\]

\[x^\circ = 55^\circ\]

Таким образом, мера угла BDK в остроугольном треугольнике ABC равна 55 градусам.