Найдите min значение функции y=1/3x√x-6x+70 на отрезке

Дружище

51

Для решения этой задачи нам потребуется использовать основные принципы дифференциального исчисления. Чтобы найти минимальное значение функции, мы должны сначала найти ее критические точки - то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Затем мы проверим эти точки и значения функции на границах заданного отрезка.

Для начала возьмем производную функции y по переменной x:

\[
y" = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x\sqrt{x} - 6x + 70 \right)
\]

Для упрощения выражения, разобьем его на несколько частей и найдем производную каждой части по отдельности.

\[
y" = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x\sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(70)
\]

Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности:

1. Сначала найдем производную функции \(x\sqrt{x}\). Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций (правило Лейбница):

\[
\frac{d}{dx}(x\sqrt{x}) = \sqrt{x} + \frac{1}{2}x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right) = \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]

2. Теперь найдем производную функции \(6x\). Производная любой линейной функции равна коэффициенту при переменной, поэтому:

\[
\frac{d}{dx}(6x) = 6
\]

3. Так как производная константы равна нулю, то:

\[
\frac{d}{dx}(70) = 0
\]

Теперь, когда мы нашли производную функции y, можно составить уравнение:

\[
y" = \sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 6 = 0
\]

Решим это уравнение относительно x. Для этого приведем все слагаемые в общий знаменатель и решим получившееся квадратное уравнение:

\[
2\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 6 = 0
\]

Умножим обе части уравнения на \(2\sqrt{x}\) для избавления от знаменателей:

\[
4x + 1 - 12\sqrt{x} = 0
\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[
4x - 12\sqrt{x} + 1 = 0
\]

Для решения этого квадратного уравнения нам понадобится использовать квадратное уравнение относительно \(\sqrt{x}\).

Введем новую переменную \(u = \sqrt{x}\). Тогда получаем:

\[
4u^2 - 12u + 1 = 0
\]

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 144 - 16 = 128
\]

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня:

\[
u_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{128}}{2 \cdot 4} = \frac{12 + 8\sqrt{2}}{8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}
\]

\[
u_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{128}}{2 \cdot 4} = \frac{12 - 8\sqrt{2}}{8} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}
\]

Так как \(u = \sqrt{x}\), то из полученных корней мы можем найти значения x:

\[
x_1 = \left(\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{7 + 12\sqrt{2}}{2}
\]

\[
x_2 = \left(\frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{7 - 12\sqrt{2}}{2}
\]

Теперь осталось только проверить найденные точки нашей функции y и значения на границах заданного отрезка. Подставим значения x в исходную функцию и найдем соответствующие значения y.

Для точки x_1 = \frac{7 + 12\sqrt{2}}{2}:
\[
y_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{7 + 12\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{7 + 12\sqrt{2}}{2}} - 6 \cdot \frac{7 + 12\sqrt{2}}{2} + 70
\]

Для точки x_2 = \frac{7 - 12\sqrt{2}}{2}:
\[
y_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{7 - 12\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{7 - 12\sqrt{2}}{2}} - 6 \cdot \frac{7 - 12\sqrt{2}}{2} + 70
\]

Также остается проверить значения на границах заданного отрезка. Выделим две границы отрезка: левая граница \(a\) и правая граница \(b\).

Подставим эти значения в функцию \(y\) и найдем соответствующие значения:

Левая граница: \(a = 0\)
\[
y_a = \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} - 6 \cdot 0 + 70 = 70
\]

Правая граница: \(b = 10\)
\[
y_b = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot \sqrt{10} - 6 \cdot 10 + 70
\]

Теперь найдем минимальное значение среди всех полученных:
\[
min(y) = \min(y_a, y_1, y_2, y_b)
\]

Вычислим значения и найдем искомый результат, следуя указанной формуле.