Найдите min значение функции y=1/3x√x-6x+70 на отрезке

Дружище

51

Для решения этой задачи нам потребуется использовать основные принципы дифференциального исчисления. Чтобы найти минимальное значение функции, мы должны сначала найти ее критические точки - то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Затем мы проверим эти точки и значения функции на границах заданного отрезка.

Для начала возьмем производную функции y по переменной x:

$$y"=\frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x\sqrt{x}-6x+70)$$

Для упрощения выражения, разобьем его на несколько частей и найдем производную каждой части по отдельности.

$$y"=\frac{1}{3}\cdot \frac{d}{dx}(x\sqrt{x})-\frac{d}{dx}(6x)+\frac{d}{dx}(70)$$

Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности:

1. Сначала найдем производную функции $x\sqrt{x}$. Для этого воспользуемся правилом производной произведения функций (правило Лейбница):

$$\frac{d}{dx}(x\sqrt{x})=\sqrt{x}+\frac{1}{2}x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

2. Теперь найдем производную функции $6x$. Производная любой линейной функции равна коэффициенту при переменной, поэтому:

$$\frac{d}{dx}(6x)=6$$

3. Так как производная константы равна нулю, то:

$$\frac{d}{dx}(70)=0$$

Теперь, когда мы нашли производную функции y, можно составить уравнение:

$$y"=\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-6=0$$

Решим это уравнение относительно x. Для этого приведем все слагаемые в общий знаменатель и решим получившееся квадратное уравнение:

$$2\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-6=0$$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{x}$ для избавления от знаменателей:

$$4x+1-12\sqrt{x}=0$$

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

$$4x-12\sqrt{x}+1=0$$

Для решения этого квадратного уравнения нам понадобится использовать квадратное уравнение относительно $\sqrt{x}$.

Введем новую переменную $u=\sqrt{x}$. Тогда получаем:

$$4u^2-12u+1=0$$

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D=(-12{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=144-16=128$$

Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два корня:

$$u_1=\frac{-(-12)+\sqrt{128}}{2\cdot 4}=\frac{12+8\sqrt{2}}{8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$$

$$u_2=\frac{-(-12)-\sqrt{128}}{2\cdot 4}=\frac{12-8\sqrt{2}}{8}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$$

Так как $u=\sqrt{x}$, то из полученных корней мы можем найти значения x:

$$x_1={\left(\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{7+12\sqrt{2}}{2}$$

$$x_2={\left(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{7-12\sqrt{2}}{2}$$

Теперь осталось только проверить найденные точки нашей функции y и значения на границах заданного отрезка. Подставим значения x в исходную функцию и найдем соответствующие значения y.

Для точки x_1 = \frac{7 + 12\sqrt{2}}{2}:
$$y_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{7+12\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{\frac{7+12\sqrt{2}}{2}}-6\cdot \frac{7+12\sqrt{2}}{2}+70$$

Для точки x_2 = \frac{7 - 12\sqrt{2}}{2}:
$$y_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{7-12\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{\frac{7-12\sqrt{2}}{2}}-6\cdot \frac{7-12\sqrt{2}}{2}+70$$

Также остается проверить значения на границах заданного отрезка. Выделим две границы отрезка: левая граница $a$ и правая граница $b$.

Подставим эти значения в функцию $y$ и найдем соответствующие значения:

Левая граница: $a=0$
$$y_a=\frac{1}{3}\cdot 0\cdot \sqrt{0}-6\cdot 0+70=70$$

Правая граница: $b=10$
$$y_b=\frac{1}{3}\cdot 10\cdot \sqrt{10}-6\cdot 10+70$$

Теперь найдем минимальное значение среди всех полученных:
$$min(y)=min(y_a,y_1,y_2,y_b)$$

Вычислим значения и найдем искомый результат, следуя указанной формуле.