Сколько корней имеет уравнение 2sin^2x+cos4x=0 на интервале [0; 2π]?

Летающая_Жирафа

3

Для начала, давайте приведем уравнение к более удобному виду. Мы видим, что в уравнении присутствуют тригонометрические функции sin и cos. Для удобства заменим sin^2x на (1-cos^2x), чтобы получить уравнение только с одной тригонометрической функцией.

2(1-cos^2x) + cos4x = 0

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2x + cos4x = 0

Далее, заметим, что мы имеем степень 4 в тригонометрической функции cos4x. Мы можем заменить cos4x на выражение, содержащее только степени 2 с использованием формулы двойного угла для cos:

cos4x = (cos^2(2x) - sin^2(2x))

Подставим это обратно в уравнение:

2 - 2cos^2x + (cos^2(2x) - sin^2(2x)) = 0

Теперь мы имеем уравнение только с одной переменной x и только с тригонометрическими функциями cos и sin.

2 - 2cos^2x + cos^2(2x) - sin^2(2x) = 0

Мы можем заменить sin^2(2x) на выражение, содержащее только cos^2(2x) с использованием тригонометрической тождества sin^2x + cos^2x = 1:

sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x)

Подставим это обратно в уравнение:

2 - 2cos^2x + cos^2(2x) - (1 - cos^2(2x)) = 0

Продолжим упрощение:

2 - 2cos^2x + cos^2(2x) - 1 + cos^2(2x) = 0

-2cos^2x + 2cos^2(2x) + 1 = 0

Теперь у нас есть уравнение с двумя термами cos. Мы можем привести его к квадратному уравнению, заменив cos^2(2x) на переменную t:

-2cos^2x + 2t + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение.

-2t + 2t^2 + 1 = 0

Перенесем все термы на одну сторону:

2t^2 - 2t - 1 = 0

Применим формулу для решения квадратного уравнения:

t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

В данном случае, a = 2, b = -2 и c = -1. Подставим их в формулу:

t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}

Упрощаем выражение:

t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4}

t = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4}

Мы можем упростить корень:

t = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4}

Разделим числитель и знаменатель на 2:

t = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}

Теперь, чтобы найти значения переменной x, мы должны решить два уравнения:

cos(2x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}

и

cos(2x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}

Решая первое уравнение, получаем:

2x = arccos\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)

2x = \frac{\pi}{6}

x = \frac{\pi}{12}

Решая второе уравнение, получаем:

2x = arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right)

2x = \frac{5\pi}{6}

x = \frac{5\pi}{12}

Итак, у нас есть два решения на интервале [0; 2π]: x = \frac{\pi}{12} и x = \frac{5\pi}{12}. Оба этих значения корней уравнения 2sin^2x+cos4x=0.