Найдите объем отсекаемого конуса, если полная линия отношения его высоты к основанию составляет 1:4 и плоскость

Yahont

4

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип подобия треугольников. Давайте рассмотрим следующие шаги.

Пусть высота конуса будет \(h\), а радиус его основания \(r\). Мы знаем, что линия отношения высоты к основанию составляет 1:4, значит, мы можем записать:

\(\frac{h}{r} = \frac{1}{4}\) (1)

Теперь нам нужно найти точку на высоте \(h\), которая делит ее в соотношении 1:4. Давайте обозначим эту точку через \(x\), тогда высота будет разделена на две части: \(x\) и \(h-x\). Мы также знаем, что плоскость параллельна основанию и проходит через эту точку. Это означает, что подобные треугольники будут иметь одинаковое соотношение сторон:

\(\frac{x}{r} = \frac{h-x}{4r}\) (2)

Теперь давайте решим эту систему уравнений (1) и (2) для нахождения \(h\) и \(x\).

Из уравнения (1) мы можем выразить \(h\) через \(r\):

\(h = \frac{r}{4}\) (3)

Подставим значение \(h\) из уравнения (3) в уравнение (2):

\(\frac{x}{r} = \frac{\frac{r}{4} - x}{4r}\)

Умножим обе части уравнения на \(4r\):

\(4x = \frac{r}{4} - x\)

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\(16x = r - 4x\)

Теперь соберем все \(x\) влево и все \(r\) вправо:

\(20x = r\)

Теперь, заменив \(x\) на \(\frac{h}{5}\) (так как \(x\) составляет 1/5 от высоты \(h\)), получим:

\(20 \cdot \frac{h}{5} = r\)

Упростим:

\(4h = r\) (4)

Таким образом, мы получили связь между высотой \(h\) и радиусом \(r\) конуса.

Теперь мы можем выразить объем конуса, который отсекается параллельной плоскостью. Объем \(V\) для полного конуса равен:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Однако, мы должны отнять объем отсекаемого конуса. Объем отсекаемого конуса \(V_{\text{отсеч}}\) можно получить, используя выражение:

\[V_{\text{отсеч}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{h}{5}\right)\]

Теперь мы можем записать окончательную формулу для объема отсекаемого конуса:

\[V_{\text{отсеч}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{h}{5}\right)\]

Давайте резюмируем все решение:

1. Мы использовали принцип подобия треугольников, чтобы найти соотношение между высотой и радиусом конуса.
2. Затем мы нашли значение \(h\) через радиус \(r\).
3. Подставив это значение \(h\) в уравнение, мы нашли \(x\), то есть точку, которая делит высоту конуса.
4. Затем мы использовали формулу для объема конуса, чтобы найти объем отсекаемого конуса.

Надеюсь, эта подробная процедура помогла Вам понять, как найти объем отсекаемого конуса в данной задаче. Если у Вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь.