Найдите отношение длин путей, пройденных световыми лучами при переходе из воды в стекло за равные промежутки времени

Yarus

22

Задача. Найдите отношение длин путей, пройденных световыми лучами при переходе из воды в стекло за равные промежутки времени, при условии, что абсолютные показатели преломления воды и стекла соответственно равны 1.33 и 1.5.

Решение.

Для начала, вспомним закон преломления света, который гласит, что отношение синуса угла падения светового луча к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления двух сред:

\[ \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)} = \dfrac{n_2}{n_1} \]

где \( \theta_1 \) - угол падения, \( \theta_2 \) - угол преломления, \( n_1 \) - показатель преломления первой среды, \( n_2 \) - показатель преломления второй среды.

В данной задаче у нас две среды - вода и стекло. Для определенности, пусть световой луч сначала проходит из воды в стекло. Тогда угол падения будет равен углу между лучом и нормалью к поверхности раздела двух сред, а угол преломления будет равен углу между преломленным лучом и нормалью к поверхности раздела сред. Пусть угол падения воды равен \( \theta_1 \), а угол преломления в стекле равен \( \theta_2 \).

Так как промежутки времени равны, значит путешествие светового луча в каждой среде будет занимать равное время. Так как скорость света в воде и стекле различаются, то и пути, пройденные лучом, будут различаться. Пусть \( L_1 \) - длина пути в воде, \( L_2 \) - длина пути в стекле.

\[ L_1 = v_1 \cdot t, \]

\[ L_2 = v_2 \cdot t, \]

где \( v_1 \) - скорость света в воде, \( v_2 \) - скорость света в стекле, \( t \) - время.

Объединяя все уравнения, получим:

\[ \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)} = \dfrac{v_2}{v_1} \]

Мы знаем, что скорость света в воде и стекле обратно пропорциональны показателю преломления:

\[ v_1 = \dfrac{c}{n_1}, \quad v_2 = \dfrac{c}{n_2} \]

где \( c \) - скорость света в вакууме (постоянная, приближенно равная \( 3 \cdot 10^8 \, \text{м/с} \)).

Подставим значения скоростей света:

\[ \dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)} = \dfrac{\dfrac{c}{n_2}}{\dfrac{c}{n_1}} = \dfrac{n_1}{n_2} \]

Теперь, зная значения показателей преломления воды и стекла, мы можем вычислить отношение длин путей:

\[ \dfrac{L_1}{L_2} = \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{1.33}{1.5} \approx 0.887 \]

Ответ: Отношение длин путей, пройденных световыми лучами при переходе из воды в стекло за равные промежутки времени, равно примерно 0.887.