Найдите площадь области, ограниченной графиком функции f(x)=9−0,6x2, касательной к нему в точке x=-3 и прямой

Олег

19

Чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции $f(x)=9-0,6x^2$, касательной к нему в точке $x=-3$ и прямой, нам понадобится несколько шагов.

Шаг 1: Найдем точку касания касательной с графиком функции $f(x)$.
Для этого найдем производную функции $f(x)$ и подставим значение $x=-3$ в полученное выражение.

$f"(x)=-1.2x$

Подставляем $x=-3$:
$f"(-3)=-1.2\cdot (-3)=3.6$

Таким образом, точка касания касательной с графиком функции находится в координатах $(-3,f(-3))$ или $(-3,13.8)$.

Шаг 2: Найдем уравнение касательной в этой точке.
Уравнение касательной имеет вид $y=mx+c$, где $m$ - это наклон касательной, а $c$ - это коэффициент сдвига.

Так как касательная к графику проходит через точку $(-3,13.8)$, то мы можем использовать это значение для нахождения $c$:

$13.8=m\cdot (-3)+c$

Теперь нам нужно найти значение $m$, которое является наклоном касательной. Мы уже нашли это значение в первом шаге - $m=3.6$.

Подставим $m$ и координаты точки $(-3,13.8)$ в уравнение касательной и решим его относительно $c$:

$13.8=3.6\cdot (-3)+c$

$13.8=-10.8+c$

$c=13.8+10.8$

$c=24.6$

Таким образом, уравнение касательной имеет вид $y=3.6x+24.6$.

Шаг 3: Найдем точку пересечения графика функции $f(x)$ с прямой.
Для этого приравняем уравнение $f(x)$ к уравнению касательной и решим это уравнение относительно $x$.

$9-0.6x^2=3.6x+24.6$

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

$0.6x^2+3.6x+24.6-9=0.6x^2+3.6x+15.6=0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта для определения количества корней и их значения:

Дискриминант $D=b^2-4ac$, где $a=0.6$, $b=3.6$, и $c=15.6$.

$D=(3.6{)}^2-4\cdot 0.6\cdot 15.6$

$D=12.96-37.44$

$D=-24.48$

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $f(x)$ и прямая не пересекаются.

Шаг 4: Найдем площадь области, ограниченной графиком функции $f(x)$, касательной и прямой.

Поскольку график функции $f(x)$ и прямая не пересекаются, площадь области ограничена только касательной.

Для нахождения площади, мы должны найти интеграл функции $f(x)$ на заданном интервале. В данном случае, интервал будет от $-\mathrm{\infty }$ до $-3$.

$\text{Площадь}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-3}(9-0.6x^2)dx$

Вычислим этот интеграл:

$\text{Площадь}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-3}9dx-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-3}0.6x^{2}dx$

$\text{Площадь}=9x{|}_{-\mathrm{\infty }}^{-3}-0.6{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-3}{x}^{2}dx$

Так как граница интервала $-\mathrm{\infty }$ является бесконечностью, то первое слагаемое обращается в ноль. Остается только интеграл.

$\text{Площадь}=-0.6{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-3}{x}^{2}dx$

$\text{Площадь}=-0.6\cdot \frac{1}{3}{x}^3{|}_{-\mathrm{\infty }}^{-3}$

$\text{Площадь}=-0.6\cdot \frac{1}{3}(-3{)}^3$

$\text{Площадь}=-0.6\cdot \frac{1}{3}\cdot (-27)$

$\text{Площадь}=5.4$

Таким образом, площадь области, ограниченной графиком функции $f(x)=9-0.6x^2$, касательной к нему в точке $x=-3$ и прямой, составляет $5.4$ единицы площади.