Найдите площадь области, ограниченной графиком функции f(x)=9−0,6x2, касательной к нему в точке x=-3 и прямой

Олег

19

Чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции \(f(x) = 9 - 0,6x^2\), касательной к нему в точке \(x = -3\) и прямой, нам понадобится несколько шагов.

Шаг 1: Найдем точку касания касательной с графиком функции \(f(x)\).
Для этого найдем производную функции \(f(x)\) и подставим значение \(x = -3\) в полученное выражение.

\(f"(x) = -1.2x\)

Подставляем \(x = -3\):
\(f"(-3) = -1.2 \cdot (-3) = 3.6\)

Таким образом, точка касания касательной с графиком функции находится в координатах \((-3, f(-3))\) или \((-3, 13.8)\).

Шаг 2: Найдем уравнение касательной в этой точке.
Уравнение касательной имеет вид \(y = mx + c\), где \(m\) - это наклон касательной, а \(c\) - это коэффициент сдвига.

Так как касательная к графику проходит через точку \((-3, 13.8)\), то мы можем использовать это значение для нахождения \(c\):

\(13.8 = m \cdot (-3) + c\)

Теперь нам нужно найти значение \(m\), которое является наклоном касательной. Мы уже нашли это значение в первом шаге - \(m = 3.6\).

Подставим \(m\) и координаты точки \((-3, 13.8)\) в уравнение касательной и решим его относительно \(c\):

\(13.8 = 3.6 \cdot (-3) + c\)

\(13.8 = -10.8 + c\)

\(c = 13.8 + 10.8\)

\(c = 24.6\)

Таким образом, уравнение касательной имеет вид \(y = 3.6x + 24.6\).

Шаг 3: Найдем точку пересечения графика функции \(f(x)\) с прямой.
Для этого приравняем уравнение \(f(x)\) к уравнению касательной и решим это уравнение относительно \(x\).

\(9 - 0.6x^2 = 3.6x + 24.6\)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\(0.6x^2 + 3.6x + 24.6 - 9 = 0.6x^2 + 3.6x + 15.6 = 0\)

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта для определения количества корней и их значения:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 0.6\), \(b = 3.6\), и \(c = 15.6\).

\(D = (3.6)^2 - 4 \cdot 0.6 \cdot 15.6\)

\(D = 12.96 - 37.44\)

\(D = -24.48\)

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции \(f(x)\) и прямая не пересекаются.

Шаг 4: Найдем площадь области, ограниченной графиком функции \(f(x)\), касательной и прямой.

Поскольку график функции \(f(x)\) и прямая не пересекаются, площадь области ограничена только касательной.

Для нахождения площади, мы должны найти интеграл функции \(f(x)\) на заданном интервале. В данном случае, интервал будет от \(-\infty\) до \(-3\).

\(\text{Площадь} = \int_{-\infty}^{-3} (9 - 0.6x^2) \, dx\)

Вычислим этот интеграл:

\(\text{Площадь} = \int_{-\infty}^{-3} 9 \, dx - \int_{-\infty}^{-3} 0.6x^2 \, dx\)

\(\text{Площадь} = 9x \Bigg|_{-\infty}^{-3} - 0.6 \int_{-\infty}^{-3} x^2 \, dx\)

Так как граница интервала \(-\infty\) является бесконечностью, то первое слагаемое обращается в ноль. Остается только интеграл.

\(\text{Площадь} = -0.6 \int_{-\infty}^{-3} x^2 \, dx\)

\(\text{Площадь} = -0.6 \cdot \frac{1}{3}x^3 \Bigg|_{-\infty}^{-3}\)

\(\text{Площадь} = -0.6 \cdot \frac{1}{3}(-3)^3\)

\(\text{Площадь} = -0.6 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-27)\)

\(\text{Площадь} = 5.4\)

Таким образом, площадь области, ограниченной графиком функции \(f(x) = 9 - 0.6x^2\), касательной к нему в точке \(x = -3\) и прямой, составляет \(5.4\) единицы площади.