Какие значения x удовлетворяют уравнению tg(x) = -9 на интервале (-3pi/2; 3pi/2)?

Vladimir

26

Чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению \(\tan(x) = -9\) на интервале \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\), мы можем использовать обратную функцию \(\arctan\).

Шаг 1: Взять арктангенс от обеих сторон уравнения
\(\arctan(\tan(x)) = \arctan(-9)\)

Поскольку \(\arctan(\tan(x)) = x\) только в пределах определенного интервала, нам нужно учесть это при решении уравнения. Чтобы облегчить вычисления, мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами.

Шаг 2: Использовать свойства тангенса.
По свойству тангенса, \(\tan(x + n\pi) = \tan(x)\), где \(n\) - целое число. Также, заметим, что \(\tan(\frac{\pi}{2})\) равен бесконечности.

Поэтому, наше уравнение
\(\arctan(\tan(x)) = \arctan(-9)\)
можно записать как
\(x + n\pi = \arctan(-9)\), где \(n\) - целое число,
или
\(x = \arctan(-9) - n\pi\).

Шаг 3: Найти значения \(x\) на заданном интервале.
Для того чтобы найти значения \(x\) на интервале \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\), мы можем просто подставить различные значения целого числа \(n\) и вычислить \(x\).

Подставим \(n = -2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\) в уравнение \(x = \arctan(-9) - n\pi\) и вычислим значения \(x\):

1. При \(n = -2\):
\(x = \arctan(-9) - (-2\pi) = \arctan(-9) + 2\pi\)

2. При \(n = -1\):
\(x = \arctan(-9) - (-\pi) = \arctan(-9) + \pi\)

3. При \(n = 0\):
\(x = \arctan(-9) - 0 = \arctan(-9)\)

4. При \(n = 1\):
\(x = \arctan(-9) - \pi\)

5. При \(n = 2\):
\(x = \arctan(-9) - 2\pi\)

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(\tan(x) = -9\) на интервале \(-\frac{3\pi}{2}\) до \(\frac{3\pi}{2}\), равны \(\arctan(-9) + 2\pi\), \(\arctan(-9) + \pi\), \(\arctan(-9)\), \(\arctan(-9) - \pi\), \(\arctan(-9) - 2\pi\).

Обратите внимание, что функция \(\arctan\) возвращает значения в радианах. Если вы хотите получить значения в градусах, просто преобразуйте их, используя соотношение \(180^\circ = \pi\) (приближенное значение).