Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда, основание которого является ромбом с диагональю 8 см. Меньшая

Zolotoy_Ray

65

Хорошо! Для решения этой задачи, первым делом давайте разберемся, какие известные данные у нас есть.

У нас есть параллелепипед, у которого основание — ромб с диагональю 8 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Длина бокового ребра равна 2√3.

Для начала, нарисуем чертеж параллелепипеда. Давайте обозначим основание ромбом, у которого стороны равны \(a\) и \(b\). Высота параллелепипеда будет обозначаться как \(h\).


Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда, мы можем разбить его на несколько частей: две основы и четыре боковых поверхности.

Начнем с вычисления площади одной из основ параллелепипеда — ромба. Для этого нам понадобится формула площади ромба, которая равна половине произведения диагоналей:

\[S_{\text{основы}} = \frac{1}{2} \times a \times b\]

Мы знаем, что одна из диагоналей равна 8 см. Так как ромб — это также основание параллелепипеда, то стороны ромба являются диагоналями основы параллелепипеда. Если меньшая диагональ ромба составляет угол 30 градусов с плоскостью основания, то это значит, что боковое ребро параллелепипеда будет составлять угол 30 градусов с кромкой основы, как показано на чертеже.


Теперь нам нужно найти стороны ромба. Обозначим меньшую диагональ ромба как \(d_1\) и большую диагональ как \(d_2\). Мы знаем, что \(d_1 = 8\) см.

Чтобы найти стороны ромба, воспользуемся свойствами ромба. Как известно, диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. Следовательно, мы можем применить тригонометрическое соотношение для нахождения сторон треугольника, так как у нас известен угол и диагональ:

\[\sin(30^\circ) = \frac{{a / 2}}{{d_1}}\]

Решив это соотношение относительно \(a\), получим:

\[a = 2 \times d_1 \times \sin(30^\circ)\]

Теперь, зная стороны ромба \(a\) и \(b\), можем вычислить площадь одной из его основ:

\[S_{\text{основы}} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times (2 \times d_1 \times \sin(30^\circ)) \times b\]

Теперь, когда мы знаем площадь одной основы, давайте посмотрим на боковые поверхности параллелепипеда. Мы имеем четыре боковые поверхности, каждая из которых является прямоугольником. Для каждого бокового прямоугольника длина будет равна \(a\), ширина будет равна \(h\) (высоте параллелепипеда), а площадь будет вычисляться по формуле:

\[S_{\text{боковой}} = a \times h\]

Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда, нам нужно сложить площади двух основ и четырех боковых поверхностей:

\[S_{\text{полная}} = 2 \times S_{\text{основы}} + 4 \times S_{\text{боковой}}\]

Теперь у нас есть все данные, чтобы произвести вычисления и получить ответ. Осталось только подставить известные значения в соответствующие формулы и выполнить вычисления.

Я надеюсь, что эта подробная и очерченная информация позволит вам лучше понять процесс решения данной задачи! Если возникнут какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.