Найдите подтверждение следующего равенства: (3b/(b-2)-6b/(b^2-4b+4)):(b-4)/(b^2-4)-(2b^2+8b)/(b-2)=b для учеников

Вечный_Сон

18

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово, чтобы понять, как найти подтверждение данного равенства.

Нам дано следующее равенство:
\[\frac{\frac{3b}{b-2}-\frac{6b}{b^2-4b+4}}{\frac{b-4}{b^2-4}} - \frac{2b^2+8b}{b-2} = b\]

1. Начнем с упрощения отдельных частей уравнения.

a) Упростим дробь в первом выражении:
\[\frac{3b}{b-2}-\frac{6b}{b^2-4b+4}\]

Общий знаменатель для этих двух дробей будет \((b-2)(b-2)\), так как это является наименьшим общим кратным для этих знаменателей. Таким образом, получим:
\[\frac{3b(b-2) - 6b}{(b-2)(b-2)}\]
\[\frac{3b^2 - 6b - 6b}{(b-2)(b-2)}\]
\[\frac{3b^2 - 12b}{(b-2)(b-2)}\]
\[\frac{3b(b - 4)}{(b-2)(b-2)}\]

b) Упростим дробь во втором выражении:
\[\frac{b-4}{b^2-4}\]

В числителе у нас уже имеется \(b-4\), поэтому мы можем оставить его таким же. В знаменателе можем заметить, что \(b^2 - 4\) представляет собой разность квадратов и может быть разложено по формуле:
\[b^2 - 4 = (b+2)(b-2)\]
Таким образом, получим:
\[\frac{b-4}{(b+2)(b-2)}\]

c) Упростим дробь в третьем выражении:
\[\frac{2b^2+8b}{b-2}\]

Дробь не может быть упрощена больше, поэтому оставим ее неизменной.

2. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное равенство:

\[\frac{\frac{3b(b - 4)}{(b-2)(b-2)}}{\frac{b-4}{(b+2)(b-2)}} - \frac{2b^2+8b}{b-2} = b\]

3. Осталось произвести некоторые алгебраические преобразования и упростить уравнение.

a) Упростим выражение в числителе первой дроби:
\[\frac{3b(b - 4)}{(b-2)(b-2)} \cdot \frac{(b+2)(b-2)}{b-4}\]
\[\frac{3b \cdot (b-4) \cdot (b+2) \cdot (b-2)}{(b-2)(b-2) \cdot (b-4)}\]
\[\frac{3b \cdot (b+2) \cdot (b-2)}{(b-2)}\]
\[3b \cdot (b+2) = 3b^2 + 6b\]

b) Упростим выражение в знаменателе первой дроби:
\[\frac{b-4}{(b+2)(b-2)}\]

c) Упростим второе выражение:
\[\frac{2b^2 + 8b}{b-2}\]

4. Упрощаем уравнение:

\[\frac{3b^2 + 6b}{b-2} - (2b^2 + 8b) = b\]

Объединяем дробь:
\[\frac{3b^2 + 6b - (2b^2 + 8b) \cdot (b-2)}{b-2} = b\]

Раскрываем скобки:
\[\frac{3b^2 + 6b - (2b^3 - 4b^2 + 16b - 16)}{b-2} = b\]

Упрощаем выражение в знаменателе:
\[\frac{3b^2 + 6b - 2b^3 + 4b^2 - 16b + 16}{b-2} = b\]

Собираем подобные члены:
\[-2b^3 + 7b^2 - 10b + 16 = b \cdot (b-2)\]

Переписываем уравнение в стандартной форме:
\[-2b^3 + 7b^2 - 10b + 16 = b^2 - 2b\]

Переносим все члены в левую сторону:
\[-2b^3 + 6b^2 - 8b + 16 = 0\]

Данное уравнение является полиномом третьей степени, и чтобы найти его корни, нужно использовать методы факторизации, графиков или численных методов, которые мы еще не изучали в 8 классе.

Таким образом, мы можем утверждать, что исходное равенство \((3b/(b-2)-6b/(b^2-4b+4)):(b-4)/(b^2-4)-(2b^2+8b)/(b-2) = b\) не верно для всех значений переменной \(b\).

Возможно, в задаче была опечатка или она содержит ошибку, поскольку она не имеет положительного решения для \(b\).