Найдите производную функции f(x)=5x-9, используя определение

Журавль

27

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам, чтобы все было понятно.
Шаг 1: Первым шагом мы должны вспомнить определение производной функции по определению. Производная функции f(x) в точке x_0 (читается "экс ноль") определяется следующим образом:

\[f"(x_0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{{h}}\]

Здесь f(x_0) обозначает значение функции f в точке x_0, а h - это очень маленькое число, стремящееся к нулю. То есть мы должны взять разность значений функции f в точках x_0 + h и x_0, а затем поделить эту разность на очень маленькое число h.

Шаг 2: Теперь применим это определение к нашей функции f(x)=5x-9. Для этого возьмем произвольную точку x_0 и найдем f(x_0 + h) и f(x_0). Затем вычислим разность между этими значениями.

Шаг 3: Поделим разность на значение h и возьмем предел этого выражения при h стремящемся к нулю. Полученное выражение будет производной функции f(x) в точке x_0.

Шаг 4: Применяем шаги 2 и 3 к нашей функции f(x)=5x-9. Подставим f(x_0 + h) и f(x_0) в формулу определения производной и упростим выражение.

\[
f"(x_0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(5(x_0 + h) - 9) - (5x_0 - 9)}}{{h}}
\]

\[
= \lim_{{h \to 0}} \frac{{5x_0 + 5h - 9 - 5x_0 + 9}}{{h}}
\]

\[
= \lim_{{h \to 0}} \frac{{5h}}{{h}}
\]

\[
= \lim_{{h \to 0}} 5
\]

Шаг 5: В итоге мы получили, что производная функции f(x)=5x-9 по определению равна 5. Это означает, что в любой точке графика данной функции, наклон его касательной будет составлять 5.

Таким образом, производная функции f(x)=5x-9 равна 5 по определению.