Найдите производную выражения 1/2tg(4x-π)-3e^2+π при x=x0=π/4

Маркиз

44

Хорошо, рассмотрим данное выражение и найдем его производную. Напомню, что производная показывает, как изменяется функция при изменении ее аргумента.

Итак, у нас есть выражение \( \frac{1}{2} \tan(4x-\pi) - 3e^2 + \pi \), и нам требуется найти его производную при \( x = x_0 = \frac{\pi}{4} \).

Для начала, обратим внимание на каждый компонент выражения и найдем производные по отдельности. Затем мы объединим эти производные, чтобы получить Gesamtlösung (общее решение) для задачи.

1. Найдем производную функции \( \frac{1}{2} \tan(4x-\pi) \). Для этого мы можем использовать цепное правило.

Для начала, рассмотрим функцию \( f(u) = \tan(u) \) и ее производную \( f"(u) = \frac{d}{du}\tan(u) \). С помощью цепного правила, если у нас есть функция \( g(x) = f(u(x)) \), то ее производная вычисляется как произведение производной функции \( f"(u) \) и производной функции \( u"(x) \).

В нашем случае, \( u(x) = 4x - \pi \), \( f(u) = \tan(u) \) и \( g(x) = \frac{1}{2}\tan(4x - \pi) \). Таким образом, производная \( g"(x) \) вычисляется как:
\[ g"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan(4x - \pi)\right) = \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\tan(4x - \pi) = \frac{1}{2} \cdot 4 \sec^2(4x - \pi) \cdot 4 \]

2. Теперь найдем производную функции \( f(x) = 3e^2 \). Здесь у нас просто постоянная, а производная постоянной функции равна нулю. Таким образом, \( f"(x) = 0 \).

3. Найдем производную константы \( \pi \). Такая производная также равна нулю, поскольку константа не зависит от переменной \( x \). Таким образом, \( \frac{d}{dx}\pi = 0 \).

Теперь объединим найденные производные, чтобы получить Gesamtlösung (общее решение).

Общая производная выражения:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan(4x - \pi) - 3e^2 + \pi\right) = \frac{1}{2} \cdot 4 \sec^2(4x - \pi) \cdot 4 + 0 + 0 \]

Теперь подставим значение \( x = \frac{\pi}{4} \) в полученную производную:
\[ \frac{1}{2} \cdot 4 \sec^2\left(4\left(\frac{\pi}{4}\right) - \pi\right) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 4 \sec^2(0) \cdot 4 \]

Так как \( \sec^2(0) = 1 \), мы можем упростить выражение:
\[ \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 \]

Итак, производная данного выражения при \( x = \frac{\pi}{4} \) равна 4.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы пришли к этому ответу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.