Найдите расстояние от центра сферы до сечения, если радиус сферы известен и ее сечением является треугольник с длинами

Волшебный_Лепрекон

37

Чтобы найти расстояние от центра сферы до сечения, нужно использовать свойство радиус-вектора перпендикулярного к плоскости сечения.

Для начала, поскольку в данной задаче сечением является треугольник, нам потребуется найти высоту этого треугольника. Мы знаем длины его сторон: 12, 16 и 20 см. Воспользуемся формулой герона для вычисления площади треугольника:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(p\) - полупериметр треугольника, который можно вычислить по формуле \(p = \frac{a+b+c}{2}\).

Итак, находим полупериметр треугольника:

\[p = \frac{12 + 16 + 20}{2} = 24\]

Теперь найдем площадь треугольника:

\[S = \sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)} = \sqrt{24 \cdot 12 \cdot 8 \cdot 4} = \sqrt{3 \cdot 2^4 \cdot 2^3 \cdot 2^2} = \sqrt{3 \cdot 2^{4+3+2}} = \sqrt{3 \cdot 2^9} = \sqrt{3} \cdot 2^4 = 2\sqrt{3} \cdot 2^3 = 8\sqrt{3}\]

Теперь мы можем использовать формулу для высоты треугольника при основании \(a\), где \(S\) - площадь треугольника:

\[h = \frac{2S}{a} = \frac{2(8\sqrt{3})}{12} = \frac{16\sqrt{3}}{12} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, высота треугольника равна \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) см.

Теперь у нас есть высота треугольника, которая является радиус-вектором, и она перпендикулярна плоскости сечения. Остается только найти расстояние от центра сферы до плоскости сечения, используя этот радиус-вектор.

Так как радиус-вектор перпендикулярен плоскости сечения, он является высотой, ведущей из вершины треугольника к центру его окружности. Таким образом, расстояние от центра сферы до сечения будет равно высоте треугольника.

Итак, расстояние от центра сферы до сечения равно \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) см.