Найдите решение для уравнения, в котором будет корень из 2x и корень из x-3, при условии, что это равно

Золотой_Орел

62

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение, в котором присутствуют корень из \(2x\) и корень из \(x-3\). Пусть это уравнение равно \(y\). Тогда мы можем записать его следующим образом:

\[y = \sqrt{2x} + \sqrt{x-3}\]

Наша цель состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения. Для этого нам нужно избавиться от корней и выразить \(x\) в явном виде.

Первый шаг - изолируем один из корней. Для этого вычтем из обеих сторон уравнения корень из \(x-3\):

\[y - \sqrt{x-3} = \sqrt{2x}\]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[(y - \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2x})^2\]

Далее раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

\[y^2 - 2y\sqrt{x-3} + (x-3) = 2x\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором нет корней. Давайте перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а все остальные члены в другую сторону:

\[y^2 - 2x = 2y\sqrt{x-3} - (x-3) \]

А теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат еще раз:

\[(y^2 - 2x)^2 = (2y\sqrt{x-3} - (x-3))^2\]

Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

\[y^4 - 4xy^2 + 4x^2 = 4y^2(x-3) - 4y(x-3) + (x-3)^2\]

Упростим это уравнение:

\[y^4 - 4xy^2 + 4x^2 = 4xy^2 - 12y^2 - 4xy + 12y + x^2 - 6x + 9\]

Далее сгруппируем члены с \(y\) в одной стороне, а все остальные члены в другой стороне:

\[y^4 - 8xy^2 + 4x^2 + 12y^2 - 4xy - 12y + x^2 - 6x + 9 = 0\]

Теперь сгруппируем слагаемые и упростим уравнение:

\[y^4 + (4x + 12)y^2 + (x^2 - 4x - 12y + 9) = 0\]

Мы получили квадратное уравнение относительно \(y^2\). Решим его, используя квадратное уравнение.

Найдем дискриминант \(D\) для этого уравнения:

\[D = (4x + 12)^2 - 4(x^2 - 4x - 12y + 9)\]

Раскроем скобки:

\[D = 16x^2 + 96x + 144 - 4x^2 + 16x + 48y - 36\]

Упростим это выражение:

\[D = 12x^2 + 112x + 48y + 108\]

Теперь решим уравнение относительно \(y^2\) при \(D > 0\). С помощью квадратного уравнения найдем два значения \(y^2\). Назовем их \(y_1^2\) и \(y_2^2\).

\[y_1^2 = \frac{-(4x+12) + \sqrt{D}}{2}\]
\[y_2^2 = \frac{-(4x+12) - \sqrt{D}}{2}\]

Таким образом, мы получили два решения для \(y^2\). Теперь нам нужно найти значения \(y\), используя эти решения и исходное уравнение \(y = \sqrt{2x} + \sqrt{x-3}\).

Это приводит нас к системе уравнений:

\[\begin{cases} y^2 = y_1^2 \\ y^2 = y_2^2 \end{cases}\]

Решим первое уравнение относительно \(y\):

\[y = \sqrt{y_1^2}\]

Аналогично, решим второе уравнение:

\[y = \sqrt{y_2^2}\]

Таким образом, мы получаем два решения для \(y\), в зависимости от значений \(y_1^2\) и \(y_2^2\).

Наконец, полученные значения \(y\) позволяют нам определить значения \(x\), используя исходное уравнение \(y = \sqrt{2x} + \sqrt{x-3}\). Подставим эти значения в уравнение и решим его:

\[x = \left(\frac{y^2}{2}\right)^2\]

Таким образом, с помощью пошагового решения мы найдем решение для уравнения, в котором присутствуют корень из \(2x\) и корень из \(x-3\).