Оба числа являются нечетными, если их произведение делится на 77?​

Matvey

42

Чтобы определить, являются ли оба числа нечетными, если их произведение делится на 77, нам необходимо проанализировать условие задачи и рассмотреть свойства нечетных чисел и делимости на 77.

Для начала, давайте посмотрим на свойства нечетных чисел. Нечетное число – это число, которое не делится на 2 без остатка. Таким образом, нечетное число может быть выражено в виде $2k+1$, где $k$ является некоторым целым числом.

Теперь обратимся к делимости на 77. Число делится на 77, если оно делится и на 7, и на 11 одновременно.

Итак, предположим, что у нас есть два нечетных числа $a$ и $b$ такие, что их произведение делится на 77. Запишем эти числа в виде $a=2m+1$ и $b=2n+1$, где $m$ и $n$ – некоторые целые числа.

Теперь посмотрим на их произведение:

$$ab=(2m+1)(2n+1)$$

Раскроем скобки:

$$ab=4mn+2m+2n+1$$

Если произведение $ab$ делится на 77, это означает, что:

$$4mn+2m+2n+1⋮77$$

Теперь давайте разберемся с делимостью на 77. Для того чтобы число делилось на 77, оно должно делиться и на 7, и на 11 одновременно.

Рассмотрим сначала условие деления на 7:

$$4mn+2m+2n+1\equiv 0(\mathrm{mod}7)$$

Упростим это уравнение, выделив общие множители:

$$2(2mn+m+n)+1\equiv 0(\mathrm{mod}7)$$

Можно заметить, что $2(2mn+m+n)$ будет делиться на 7 только в том случае, если 1 также делится на 7. Однако 1 не делится на 7, поэтому это условие не выполняется.

Теперь рассмотрим условие деления на 11:

$$4mn+2m+2n+1\equiv 0(\mathrm{mod}11)$$

Повторим процесс выделения общих множителей:

$$2(2mn+m+n)+1\equiv 0(\mathrm{mod}11)$$

Аналогично предыдущему случаю, можно заметить, что это условие также не выполняется.

Итак, мы можем сделать вывод, что если два числа являются нечетными, то их произведение не будет делиться на 77.