Оба числа являются нечетными, если их произведение делится на 77?​

Matvey

42

Чтобы определить, являются ли оба числа нечетными, если их произведение делится на 77, нам необходимо проанализировать условие задачи и рассмотреть свойства нечетных чисел и делимости на 77.

Для начала, давайте посмотрим на свойства нечетных чисел. Нечетное число – это число, которое не делится на 2 без остатка. Таким образом, нечетное число может быть выражено в виде \(2k + 1\), где \(k\) является некоторым целым числом.

Теперь обратимся к делимости на 77. Число делится на 77, если оно делится и на 7, и на 11 одновременно.

Итак, предположим, что у нас есть два нечетных числа \(a\) и \(b\) такие, что их произведение делится на 77. Запишем эти числа в виде \(a = 2m + 1\) и \(b = 2n + 1\), где \(m\) и \(n\) – некоторые целые числа.

Теперь посмотрим на их произведение:

\[ab = (2m + 1)(2n + 1)\]

Раскроем скобки:

\[ab = 4mn + 2m + 2n + 1\]

Если произведение \(ab\) делится на 77, это означает, что:

\[4mn + 2m + 2n + 1 \, \vdots \, 77\]

Теперь давайте разберемся с делимостью на 77. Для того чтобы число делилось на 77, оно должно делиться и на 7, и на 11 одновременно.

Рассмотрим сначала условие деления на 7:

\[4mn + 2m + 2n + 1 \equiv 0 \pmod{7}\]

Упростим это уравнение, выделив общие множители:

\[2(2mn + m + n) + 1 \equiv 0 \pmod{7}\]

Можно заметить, что \(2(2mn + m + n)\) будет делиться на 7 только в том случае, если 1 также делится на 7. Однако 1 не делится на 7, поэтому это условие не выполняется.

Теперь рассмотрим условие деления на 11:

\[4mn + 2m + 2n + 1 \equiv 0 \pmod{11}\]

Повторим процесс выделения общих множителей:

\[2(2mn + m + n) + 1 \equiv 0 \pmod{11}\]

Аналогично предыдущему случаю, можно заметить, что это условие также не выполняется.

Итак, мы можем сделать вывод, что если два числа являются нечетными, то их произведение не будет делиться на 77.