Подтвердите, что множество многочленов L={p(t)} с вещественными коэффициентами, заданного вида, образует

Загадочная_Сова

11

Чтобы подтвердить, что множество многочленов L={p(t)} с вещественными коэффициентами, заданного вида, образует подпространство в линейном пространстве P2 многочленов степени не выше 2, нужно выполнить три условия:

1. Замкнутость относительно сложения: Пусть \(p_1(t)\) и \(p_2(t)\) два произвольных многочлена из L. Тогда их сумма \(p_1(t) + p_2(t)\) также должна быть многочленом степени не выше 2. Это условие выполняется, так как сумма двух многочленов степени не выше 2 также будет многочленом степени не выше 2.

2. Замкнутость относительно умножения на скаляр: Пусть \(p(t)\) - произвольный многочлен из L, а \(c\) - произвольное вещественное число. Тогда произведение \(c \cdot p(t)\) также должно быть многочленом степени не выше 2. Это условие также выполняется, так как умножение многочлена на скаляр не меняет его степень и остается многочленом степени не выше 2.

3. Наличие нулевого элемента: В L должен существовать нулевой многочлен, который будет являться нулевым элементом относительно сложения. В данном случае нулевым многочленом будет \(p(t) = 0\), который также является многочленом степени не выше 2.

Таким образом, условия для формирования подпространства L в линейном пространстве P2 многочленов степени не выше 2 выполнены.

Определение размерности и базиса:
- Размерность пространства L будет равна количеству базисных векторов.
- Базис - это набор линейно независимых векторов, весь векторное пространство может быть получено как их линейные комбинации.

Мы знаем, что максимальная степень многочленов в L равна 2, поэтому размерность L будет равна 3 (так как каждый многочлен степени не выше 2 имеет три коэффициента).

Чтобы получить базисное множество для L, мы можем выбрать три линейно независимых многочлена, каждый из которых имеет степень не выше 2. Один из возможных базисов для L может быть:
\[B = \{1, t, t^2\}\]

Теперь нам нужно расширить базис L до базисного множества для всего пространства P2 многочленов степени не выше 2.

Для этого нам нужно добавить в выбранный базис L векторы, которые не являются линейной комбинацией текущего базиса L и при этом обеспечат полное охватывание пространства P2.

Один из возможных способов расширения базиса L:
\[C = \{1, t, t^2, t^2 + t, t^2 - t\}\]

Таким образом, размерность пространства P2 равна 5, а базис можно представить в виде:
\[B = \{1, t, t^2\}\]
\[C = \{1, t, t^2, t^2 + t, t^2 - t\}\]

Чтобы найти координаты многочлена \(h(t)\) в пространстве L с использованием базиса B, нужно представить \(h(t)\) в виде линейной комбинации базисных векторов из B.

Пусть координаты многочлена \(h(t)\) в базисе B будут \(a\), \(b\), \(c\). Тогда:
\[h(t) = a \cdot 1 + b \cdot t + c \cdot t^2\]

Таким образом, координатами многочлена \(h(t)\) в базисе B будут \(a\), \(b\), \(c\).