Найдите решение уравнения 6х^2+ 18х = 0. Найдите решение уравнения 4х^2– 9 = 0. Найдите решение уравнения x2– 8x

Юпитер

54

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1) Найдите решение уравнения \(6x^2 + 18x = 0\).

Для начала стоит отметить, что данное уравнение можно упростить путем вынесения общего множителя. Мы видим, что каждый член содержит \(6x\), так что можно вынести этот общий множитель:

\[6x(x + 3) = 0\]

Теперь мы можем применить одно из свойств нуля, которое гласит, что произведение двух чисел равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю. Таким образом, мы получим два возможных решения:

1.1) \(6x = 0\) => \(x = 0\)
1.2) \(x + 3 = 0\) => \(x = -3\)

Итак, уравнение \(6x^2 + 18x = 0\) имеет два решения: \(x = 0\) и \(x = -3\).

Теперь рассмотрим следующую задачу.

2) Найдите решение уравнения \(4x^2 - 9 = 0\).

Для начала, чтобы решить это уравнение, нам нужно избавиться от постоянного члена (\(-9\)). Для этого мы добавим \(9\) к обоим частям уравнения:

\[4x^2 = 9\]

Затем мы выразим \(x^2\) путем деления обеих частей на \(4\):

\[x^2 = \frac{9}{4}\]

Теперь мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}\]

Извлекая корень, мы получаем два возможных решения:

2.1) \(x = \frac{3}{2}\)
2.2) \(x = -\frac{3}{2}\)

Таким образом, уравнение \(4x^2 - 9 = 0\) имеет два решения: \(x = \frac{3}{2}\) и \(x = -\frac{3}{2}\).

Теперь давайте перейдем к следующей задаче.

3) Найдите решение уравнения \(x^2 - 8x + 7 = 0\).

Для решения данного квадратного уравнения нам пригодится метод декомпозиции или формула извлечения корней.

Для начала определим коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) в уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\).
В данном случае коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = 7\).

Теперь воспользуемся формулой извлечения корней, которая гласит:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов в эту формулу и рассчитаем корни:

\[x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}\]

\[x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2}\]

\[x = \frac{8 \pm 6}{2}\]

Теперь найдем значения корней:

3.1) \(x = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7\)
3.2) \(x = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

Таким образом, уравнение \(x^2 - 8x + 7 = 0\) имеет два решения: \(x = 1\) и \(x = 7\).

Перейдем к следующей задаче.

4) Найдите решение уравнения \(3x^2 + 5x + 6 = 0\).

Для решения данного уравнения опять воспользуемся формулой извлечения корней.

Коэффициенты в данном уравнении равны: \(a = 3\), \(b = 5\) и \(c = 6\).

Теперь рассчитаем корни:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}\]

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 72}}{6}\]

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{-47}}{6}\]

Мы видим, что значение под корнем является отрицательным числом. В рамках решения квадратных уравнений в действительных числах отрицательного числа под квадратным корнем не существует. Поэтому уравнение \(3x^2 + 5x + 6 = 0\) не имеет решений в действительных числах.

Последняя задача требует немного другого подхода.

5) Найдите другой корень и значение коэффициента "а" в уравнении \(x^2 + 11x + a = 0\), если один из корней равен 3.

Известно, что если один из корней квадратного уравнения равен 3, то раскладывая его на множители получим:

\((x - 3)(x - b) = 0\)

Применяя дистрибутивное свойство, раскроем скобки:

\(x^2 - 3x - bx + 3b = 0\)

Так как у нас есть еще одно условие, а именно, что коэффициент \(а = 1\), то мы можем установить следующее равенство:

\(a = 1 = 3b\)

Отсюда находим значение коэффициента "а":

\(a = 1\)

Теперь зная значения коэффициентов \(b\) и \(a\), мы можем записать полное уравнение:

\(x^2 + 11x + 1 = 0\)

Теперь, чтобы найти другой корень этого уравнения, воспользуемся методом декомпозиции или формулой извлечения корней:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значения коэффициентов:

\[x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 4}}{2}\]

\[x = \frac{-11 \pm \sqrt{117}}{2}\]

Поскольку 117 не является квадратом целого числа, мы не можем вычислить корни идеально точно. Таким образом, другой корень этого уравнения будет в форме:

\(x = \frac{-11 \pm \sqrt{117}}{2}\)

Теперь мы посмотрим на последнюю задачу.

6) Найдите длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 22 см, а площадь равна 24 см^2.

Прямоугольник имеет две стороны - длину и ширину. Обозначим длину прямоугольника через \(l\) и ширину через \(w\).

Периметр прямоугольника равен сумме длины и ширины, умноженной на 2:

\(2l + 2w = 22\)

Также, известно, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины:

\(lw = 24\)

У нас есть система уравнений, которую мы можем решить для определения длины и ширины.

Мы можем выразить одну из переменных, например, ширину (\(w\)) через длину (\(l\)) из уравнения площади:

\(w = \frac{24}{l}\)

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение для периметра:

\(2l + 2 \left( \frac{24}{l} \right) = 22\)

Упростив это уравнение, получим:

\(2l + \frac{48}{l} = 22\)

Умножим оба члена на \(l\) для избавления от дроби:

\(2l^2 + 48 = 22l\)

Перенесем все члены в одну сторону и получим:

\(2l^2 - 22l + 48 = 0\)

Теперь, чтобы найти значения длины и ширины, решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу извлечения корней:

\[l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, коэффициенты равны \(a = 2\), \(b = -22\), и \(c = 48\). Подставим их значения:

\[l = \frac{-(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 48}}{2 \cdot 2}\]

\[l = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 384}}{4}\]

\[l = \frac{22 \pm \sqrt{100}}{4}\]

\[l = \frac{22 \pm 10}{4}\]

Рассматривая две возможные комбинации знаков, получим две разные длины:

6.1) \(l = \frac{22 + 10}{4} = \frac{32}{4} = 8\) см
6.2) \(l = \frac{22 - 10}{4} = \frac{12}{4} = 3\) см

Теперь мы можем найти значения ширины, используя формулу площади:

\[w = \frac{24}{l}\]

6.1) \(w = \frac{24}{8} = 3\) см
6.2) \(w = \frac{24}{3} = 8\) см

Таким образом, исходя из условия, длины сторон прямоугольника будут равны 8 см и 3 см, или 3 см и 8 см.

Я надеюсь, что этот ответ был подробным и обстоятельным. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их!