Найдите решение уравнения, представив левую часть в виде алгебраической дроби: y+1/y-3 - 1

Пеликан

9

Хорошо! Давайте решим данное уравнение с пошаговым объяснением.

У нас дано уравнение: \(y + \frac{1}{y} - 3 = 1\).

Для начала, давайте представим левую часть данного уравнения в виде алгебраической дроби. Для этого, мы можем объединить две дроби в одну.

Чтобы сложить дроби \(y\) и \(\frac{1}{y}\), нам нужно найти общий знаменатель. Общим знаменателем будет \(y\), так как и \(y\), и \(\frac{1}{y}\) уже имеют различные знаменатели.

Теперь мы можем написать левую часть уравнения в виде единой алгебраической дроби:

\(\frac{y^2 + 1 - 3y}{y} = 1\).

Далее, чтобы решить это уравнение, давайте избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на знаменатель \(y\):

\(y^2 + 1 - 3y = y\).

Далее, приведем все слагаемые в данном уравнении на одну сторону:

\(y^2 - 3y - y + 1 = 0\).

Теперь приведем подобные слагаемые:

\(y^2 - 4y + 1 = 0\).

На этом шаге, мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, можно использовать формулу дискриминанта или метод завершения квадрата. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

Для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\), дискриминант вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = 1\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1\),
\(D = 16 - 4\),
\(D = 12\).

Теперь, давайте рассмотрим значения дискриминанта \(D\):

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень кратности 2.
3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней, но может иметь комплексные корни.

В нашем случае \(D = 12\), что означает, что у нас есть два различных действительных корня.

Далее, мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти значения \(y\):

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения:

\(y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}\),
\(y = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}\),
\(y = 2 \pm \sqrt{3}\).

Таким образом, решение уравнения \(y + \frac{1}{y} - 3 = 1\) равно \(y = 2 + \sqrt{3}\) или \(y = 2 - \sqrt{3}\).

Надеюсь, это объяснение помогло Вам понять решение данного уравнения шаг за шагом. Если у Вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.