Найдите решение уравнения с проверкой: корень из (5-х) * корень из (5+х) = х. Варианты ответов: 1) 5/корень

Сквозь_Туман

42

Давайте решим данное уравнение пошагово. Уравнение, которое нам нужно решить, выглядит следующим образом:

\(\sqrt{5-x} \cdot \sqrt{5+x} = x\).

1. Начнем с обоих сторон уравнения и возведем их в квадрат:

\((\sqrt{5-x} \cdot \sqrt{5+x})^2 = x^2\).

Это дает нам:

\((5-x) \cdot (5+x) = x^2\).

2. Чтобы продолжить, раскроем скобки:

\(25 - x^2 = x^2\).

3. Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие \(x^2\):

\(25 = 2x^2\).

4. Найдем \(x^2\) путем деления обоих сторон уравнения на 2:

\(x^2 = \frac{25}{2}\).

5. Чтобы найти \(x\), возведем обе стороны уравнения в степень 1/2:

\(x = \sqrt{\frac{25}{2}}\).

6. Упростим это выражение. Для начала, заметим, что \(25\) можно представить в виде \(25 = 5 \cdot 5\). Также, \(\sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}\).

Имеем:

\(x = \frac{5}{\sqrt{2}}\).

7. Чтобы сократить уравнение, домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\(x = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\).

Таким образом, решение данного уравнения равно \(x = \frac{5\sqrt{2}}{2}\).

Теперь давайте проверим, является ли это решение правильным.

Подставим \(x = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) в исходное уравнение:

\(\sqrt{5 - \frac{5\sqrt{2}}{2}} \cdot \sqrt{5 + \frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\).

После упрощения и раскрытия скобок, получаем:

\(\frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\).

Сокращаем и получаем:

\(\frac{25}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\).

Таким образом, наше решение \(x = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) является верным.

Ответ: Вариант 2) 5/корень из 2.