Найдите решение уравнения, в котором а < 0, для выражения ∛(81а^6)/(a^2/3

Vechnaya_Mechta

61

Конечно! Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

У нас есть уравнение: \(\sqrt[3]{\frac{81a^6}{a^{\frac{2}{3}}}}\)

Для удобства давайте приведем выражение под корнем к общему знаменателю.
Когда мы перемножаем числа с одинаковыми основаниями в степени, мы складываем степени.
Поэтому: \(\frac{81a^6}{a^{\frac{2}{3}}} = 81a^6 \cdot a^{-\frac{2}{3}}\)

Затем применим свойство корня, гласящее, что \(\sqrt[m]{a \cdot b} = \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b}\)
Поэтому, мы можем записать наше выражение в виде:

\(\sqrt[3]{81a^6 \cdot a^{-\frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{81a^6} \cdot \sqrt[3]{a^{-\frac{2}{3}}}\)

Теперь давайте упростим каждую составляющую выражения.

Сначала разложим \(81a^6\) на множители. 81 - это куб числа 3, поэтому мы можем записать это как \(3^4\).

\(\sqrt[3]{81a^6} = \sqrt[3]{3^4 \cdot a^6}\)

Теперь мы можем применить свойство корня, чтобы разделить степени.

\(\sqrt[3]{3^4 \cdot a^6} = \sqrt[3]{3^4} \cdot \sqrt[3]{a^6}\)

\(\sqrt[3]{3^4} = 3\) (так как корень кубический от 3 равен 1, а корень из 1 равен 1)

Используя свойство корня, чтобы упростить \(\sqrt[3]{a^6}\), мы получаем:

\(\sqrt[3]{a^6} = a^2\)

Теперь у нас есть:

\(\sqrt[3]{81a^6} \cdot \sqrt[3]{a^{-\frac{2}{3}}} = 3 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^{-\frac{2}{3}}}\)

Наконец, мы можем объединить оба множителя, учитывая, что \(\sqrt[m]{a^n} = a^{\frac{n}{m}}\)

\(3 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^{-\frac{2}{3}}} = 3 \cdot a^2 \cdot a^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}}\).

Применив правило умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

\(3 \cdot a^2 \cdot a^{-\frac{2}{9}} = 3a^{2 - \frac{2}{9}} = 3a^{\frac{16}{9}}\)

Таким образом, решением уравнения \(\sqrt[3]{\frac{81a^6}{a^{\frac{2}{3}}}}\) при условии \(a < 0\) будет \(3a^{\frac{16}{9}}\).

Я надеюсь, этот подробный ответ позволил вам разобраться в решении задачи шаг за шагом! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать.