Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии 1/27, −1/9, 1/3, … . Умножьте это значение на

Tainstvennyy_Mag

36

Для решения данной задачи, нужно найти сумму первых десяти членов данной геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждое следующее число получается умножением предыдущего на определенное число, называемое знаменателем прогрессии.

Для нахождения суммы первых десяти членов прогрессии, используем следующую формулу для суммы геометрической прогрессии:

\[S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\]

Где:
\(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии,
\(a\) - первый член прогрессии,
\(r\) - знаменатель прогрессии,
\(n\) - количество членов прогрессии, для которых мы хотим посчитать сумму.

В данной задаче, у нас первый член прогрессии (а) равен \(1/27\) и знаменатель р (r) равен \(-1/3\). Мы хотим найти сумму первых десяти членов прогрессии, поэтому n равно 10.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S_{10} = \frac{1}{27} \cdot \frac{{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{10}}}{{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}}\]

Вычислив это значение, умножаем его на 27 для получения конечного результата:

\[Результат = S_{10} \cdot 27\]

Давайте решим это пошагово:

1. Вычислим \(\left(-\frac{1}{3}\right)^{10}\):
\[\left(-\frac{1}{3}\right)^{10} = \frac{1}{3^{10}} = \frac{1}{59049}\]

2. Вычислим \(\frac{{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{10}}}{{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}}\):
\(\frac{{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{10}}}{{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}} = \frac{{1 - \frac{1}{59049}}}{{1 + \frac{1}{3}}} = \frac{{59049 - 1}}{{59049 + 1}} = \frac{{59048}}{{59050}}\)

3. Вычислим \(S_{10}\):
\(S_{10} = \frac{1}{27} \cdot \frac{{59048}}{{59050}} = \frac{{59048}}{{27 \cdot 59050}}\)

4. Наконец, вычислим результат:
\(Результат = S_{10} \cdot 27 = \frac{{59048}}{{27 \cdot 59050}} \cdot 27 = \frac{{59048}}{{59050}}\)

Итак, результат равен \(\frac{{59048}}{{59050}}\).