В каких интервалах функция y=6x-x² является знакопостоянной?

Григорьевна

32

Для решения этой задачи, мы должны найти интервалы, в которых функция \(y = 6x - x^2\) будет иметь постоянный знак. Мы можем сделать это, проанализировав значения функции в различных интервалах и выявив изменения знака.

Давайте начнем с нахождения точек, где функция равна нулю, так как знак функции будет меняться вокруг этих точек. Чтобы найти эти точки, нам нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение:

\[6x - x^2 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить, факторизуя его или используя квадратное уравнение:

\[x(6 - x) = 0\]

Таким образом, \(x = 0\) или \(x = 6\).

Теперь, когда у нас есть значения, которые вызывают изменение знака функции, мы можем разделить весь числовой промежуток на три интервала: \((- \infty, 0)\), \((0, 6)\) и \((6, +\infty)\).

1. Интервал \((- \infty, 0)\):

Для проверки знака функции в этом интервале выберем значение \(x = -1\) и подставим его в функцию:

\[y = 6(-1) - (-1)^2 = -6 - 1 = -7\]

Получили отрицательное значение функции. Значит, весь интервал \((- \infty, 0)\) является интервалом, на котором функция отрицательна.

2. Интервал \((0, 6)\):

Для проверки знака функции в этом интервале выберем значение \(x = 1\) и подставим его в функцию:

\[y = 6(1) - (1)^2 = 6 - 1 = 5\]

Получили положительное значение функции. Значит, весь интервал \((0, 6)\) является интервалом, на котором функция положительна.

3. Интервал \((6, +\infty)\):

Для проверки знака функции в этом интервале выберем значение \(x = 7\) и подставим его в функцию:

\[y = 6(7) - (7)^2 = 42 - 49 = -7\]

Получили отрицательное значение функции. Значит, весь интервал \((6, +\infty)\) является интервалом, на котором функция отрицательна.

Итак, функция \(y = 6x - x^2\) является знакопостоянной на двух интервалах: \((- \infty, 0)\) и \((6, +\infty)\).