Найдите уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину, если даны координаты двух вершин A(2

Letuchiy_Fotograf

25

Для нахождения уравнения высоты треугольника, проведенной через третью вершину, нам понадобятся координаты третьей вершины треугольника \(C\). В данной задаче координаты вершины \(C\) указаны как точка пересечения медиан треугольника, что означает, что медианы треугольника пересекаются в точке \(C\).

Медианы треугольника - это линии, которые соединяют вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Известно, что медианы пересекаются в отношении 2:1 относительно своей длины от вершины треугольника. Таким образом, точка пересечения медиан треугольника \(C\) находится на отрезке медианы, который ближе к вершине треугольника.

Теперь найдем координаты точки \(C\). Для этого найдем середины сторон треугольника \(AB\), \(AC\) и \(BC\). Середина отрезка с координатами \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) находится путем нахождения среднего значения их соответствующих координат: \((\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})\).

Середина отрезка \(AB\) будет:
\[(\frac{2 + 3}{2}, \frac{-2 + (-1)}{2}) = (\frac{5}{2}, -\frac{3}{2})\]

Аналогично, середины отрезков \(AC\) и \(BC\) будут:
\(AC\): \((\frac{2 + 1}{2}, \frac{-2 + 0}{2}) = (\frac{3}{2}, -1)\)
\(BC\): \((\frac{3 + 1}{2}, \frac{-1 + 0}{2}) = (\frac{4}{2}, -\frac{1}{2}) = (2, -\frac{1}{2})\)

Теперь мы знаем, что точка \(C\) находится на медиане, проходящей через вершину \(B\). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \(B\) и \(C\).

Сначала найдем угловой коэффициент прямой:

\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Где \((x_1, y_1)\) - координаты вершины \(B\) (\(3, -1\)), а \((x_2, y_2)\) - координаты точки \(C\) (\(2, -\frac{1}{2}\)).

\[m = \frac{-\frac{1}{2} - (-1)}{2 - 3} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} = -\frac{1}{2}\]

Теперь, используя формулу для уравнения прямой, которая имеет угловой коэффициент \(m\) и проходит через точку \((x_1, y_1)\):

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

Подставим значения:

\[y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 3)\]

\[y + 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\]

\[y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - 1\]

\[y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\]

Получили уравнение прямой, проходящей через точки \(B\) и \(C\), которая представляет собой высоту треугольника, проведенную через вершину \(B\).

Надеюсь, этот ответ и пошаговое решение помогли понять, как найти уравнение высоты треугольника. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!