Найдите верные утверждения, относящиеся к векторам a, b, c. Вектора заданы следующим образом: a=(4; -3; 4), b=(2

Татьяна

14

Давайте рассмотрим каждое утверждение отдельно и проверим его на верность.

1) Векторы образуют правую тройку.

Для того чтобы узнать форму тройки, нужно вычислить скалярное произведение векторов. Для этого можно использовать формулу: \( \textbf{a} \cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) \), где \( \times \) обозначает векторное произведение. Если полученное значение равно положительному числу, то вектора образуют правую тройку.

Выполним вычисления:
\( \textbf{a} \cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot ((2, 4, -2) \times (2, -7, 6)) \)

Теперь найдем векторное произведение:
\( \textbf{b} \times \textbf{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Вычислим скалярное произведение:
\( \textbf{a} \cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 26 \\ 14 \\ 30 \end{pmatrix} = 4 \cdot 26 + (-3) \cdot 14 + 4 \cdot 30 = 104 + (-42) + 120 = 182 \)

Таким образом, получаем положительное число. Значит, векторы образуют правую тройку.

Таким образом, утверждение 1 является верным.

2) Среди этих векторов есть коллинеарные.

Векторы являются коллинеарными, если один их них может быть выражен через умножение другого вектора на константу.

Для проверки коллинеарности векторов a и b мы можем вычислить их отношение:

\( \frac{a_x}{b_x} = \frac{4}{2} \),
\( \frac{a_y}{b_y} = \frac{-3}{4} \),
\( \frac{a_z}{b_z} = \frac{4}{-2} \).

Полученные значения не являются равными, поэтому векторы a и b не являются коллинеарными.

Точно так же проверяем для других векторов:

\( \frac{a_x}{c_x} = \frac{4}{2} \),
\( \frac{a_y}{c_y} = \frac{-3}{-7} \),
\( \frac{a_z}{c_z} = \frac{4}{6} \).

Полученные значения не равны между собой, и значит, векторы a и c тоже не являются коллинеарными.

Таким образом, утверждение 2 является неверным.

3) Векторы компланарны.

Для определения компланарности векторов, мы можем вычислить смешанное произведение векторов. Если полученное значение равно нулю, то векторы компланарны.

Выполним вычисления:
\( \textbf{a} \cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot ((2, 4, -2) \times (2, -7, 6)) \)

Теперь найдем векторное произведение:
\( \textbf{b} \times \textbf{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Вычислим смешанное произведение:
\( \textbf{a} \cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 26 \\ 14 \\ 30 \end{pmatrix} = 4 \cdot 26 + (-3) \cdot 14 + 4 \cdot 30 = 104 + (-42) + 120 = 182 \)

Значение смешанного произведения отлично от нуля, поэтому векторы не компланарны.

Таким образом, утверждение 3 также является неверным.

4) Векторы образуют левую тройку.

Аналогично первому утверждению, чтобы узнать форму тройки, нужно вычислить скалярное произведение векторов. Если полученное значение равно отрицательному числу, то вектора образуют левую тройку.

Выполним вычисления:
\( \textbf{a} \cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot ((2, 4, -2) \times (2, -7, 6)) \)

Теперь найдем векторное произведение:
\( \textbf{b} \times \textbf{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -7 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Вычислим скалярное произведение:
\( \textbf{a} \cdot (\textbf{b} \times \textbf{c}) = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 26 \\ 14 \\ 30 \end{pmatrix} = 4 \cdot 26 + (-3) \cdot 14 + 4 \cdot 30 = 104 + (-42) + 120 = 182 \)

Значение скалярного произведения равно положительному числу, значит, векторы не образуют левую тройку.

Таким образом, утверждение 4 также является неверным.

5) Векторы образуют базис в пространстве.

Для проверки того, образуют ли векторы базис в пространстве, мы можем рассмотреть их линейную независимость.

Проверяем линейную независимость векторов a, b, и c путем составления системы линейных уравнений следующего вида:

\( \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -3 & 4 & -7 \\ 4 & -2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Решая данную систему уравнений, мы получим уникальное решение \( x = y = z = 0 \), что означает, что векторы a, b и c линейно независимы.

Таким образом, векторы образуют базис в пространстве.

Таким образом, верными утверждениями являются 1) Векторы образуют правую тройку и 5) Векторы образуют базис в пространстве.