На осі ординат лежить точка N. Відстань між точками N та М (-1, 5,2) дорівнює 3. Знайдіть координати точки N. Знайдіть

Skvoz_Pesok

40

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о расстоянии между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула для вычисления расстояния между двуми точками A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2}}\]

Теперь мы можем перейти к решению задачи.

1. Расстояние между точками N и М равно 3. Значит, мы можем записать следующее уравнение:

\[\sqrt{{(-1-x)^2 + (5-y)^2 + (2-z)^2}} = 3\]

2. Теперь, чтобы найти координаты точки N, нам нужно решить это уравнение. Для удобства расчетов, можно возведем обе части уравнения в квадрат:

\[[(-1-x)^2 + (5-y)^2 + (2-z)^2] = 3^2\]

3. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[1 + 2x + x^2 + 25 - 10y + y^2 + 4 - 4z + z^2 = 9\]

\[x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 10y - 4z + 21 = 9\]

4. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

\[x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 10y - 4z + 12 = 0\]

5. Таким образом, у нас получилось квадратное уравнение. Мы можем попробовать решить его с помощью метода завершения квадрата.

6. Чтобы завершить квадрат для переменной x, мы должны добавить \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 2\) с обеих сторон уравнения:

\[x^2 + 2x + 1 + y^2 + z^2 - 10y - 4z + 12 = 1\]

7. Повторим этот процесс для переменных y и z. Добавим \(5 \cdot \frac{1}{2} \cdot -10\) и \(1 \cdot \frac{1}{2} \cdot -4\) с обеих сторон соответственно:

\[x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 + z^2 - 4z + 4 + 12 = 1 + 25 + 4\]

8. Перенесем все числа в правую часть уравнения:

\[x^2 + 2x + y^2 - 10y + z^2 - 4z + 42 = 30\]

9. Получили завершенные квадраты для всех переменных. Разложим их:

\[(x+1)^2 + (y-5)^2 + (z-2)^2 = 30\]

10. Теперь мы знаем, что \(N(x,y,z)\) является решением этого уравнения. Однако, точка N лежит на оси ординат, поэтому координата x должна быть равна 0:

\[(0+1)^2 + (y-5)^2 + (z-2)^2 = 30\]

11. Выполним некоторые вычисления:

\[1 + (y-5)^2 + (z-2)^2 = 30\]

12. Теперь решим это уравнение относительно \(y\) и \(z\). Вычтем 1 с обеих сторон:

\[(y-5)^2 + (z-2)^2 = 29\]

13. Мы видим, что это уравнение представляет собой уравнение окружности в плоскости \(yz\), где центр окружности находится в точке (5, 2) и радиус окружности равен \(\sqrt{29}\).

Таким образом, точка N будет иметь координаты (0, y, z), где \(y\) и \(z\) - это координаты точек на окружности с центром в (5, 2) и радиусом \(\sqrt{29}\).

---

Теперь перейдем ко второй части задачи, где нам нужно найти расстояние между точками A и B.

Мы можем использовать формулу расстояния, которую уже упоминали ранее:

\[d = \sqrt{{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2}}\]

Подставим значения точек A(2, 1, 5) и B(-4, 1, 1) в эту формулу:

\[d = \sqrt{{(-4-2)^2 + (1-1)^2 + (1-5)^2}}\]

\[d = \sqrt{{(-6)^2 + (0)^2 + (-4)^2}}\]

\[d = \sqrt{{36 + 0 + 16}}\]

\[d = \sqrt{{52}}\]

Следовательно, расстояние между точками A и B равно \(\sqrt{{52}}\) или \(\sqrt{{4 \cdot 13}}\).