Какая функция описывает изменение массы действующего фермента при брожении кормов в зависимости от времени? Как связана

Тарантул

59

Для описания изменения массы действующего фермента при брожении кормов в зависимости от времени можно использовать экспоненциальную функцию. Пусть M(t) - масса фермента в момент времени t.

Из опыта известно, что скорость изменения массы фермента пропорциональна его текущей массе и коэффициенту пропорциональности. Обозначим этот коэффициент как k. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{dM}{dt} = -kM\)

Дано, что \(k = \frac{2}{3t}\) и \(M(t_1) = 37\) при \(t_1 = 1\).

Теперь решим данное дифференциальное уравнение:

\(\frac{dM}{M} = -k dt\)

Проинтегрируем обе стороны:

\(\int \frac{dM}{M} = -\int k dt\)

\(\ln|M| = -\int \frac{2}{3t} dt\)

\(\ln|M| = - \frac{2}{3} \int \frac{1}{t} dt\)

\(\ln|M| = - \frac{2}{3} \ln|t| + C\)

Где C - постоянная интегрирования.

Применим условие, что \(M(t_1) = 37\) при \(t_1 = 1\):

\(\ln|M(t_1)| = - \frac{2}{3} \ln|t_1| + C\)

\(\ln|37| = - \frac{2}{3} \ln|1| + C\)

\(\ln|37| = C\)

Таким образом, получаем:

\(\ln|M| = - \frac{2}{3} \ln|t| + \ln|37|\)

Воспользуемся свойствами логарифма:

\(\ln|K M| = \ln|37| - \frac{2}{3} \ln|t|\)

где \(K = e^C\).

Преобразуем:

\(\ln|K M| = \ln|37| - \ln(t^{\frac{2}{3}}) = \ln(\frac{37}{t^{\frac{2}{3}}})\)

Итак, решение уравнения будет:

\(|K M| = \frac{37}{t^{\frac{2}{3}}}\)

Теперь применим начальное условие \(M(t_1) = 37\) при \(t_1 = 1\):

\(|K M(t_1)| = \frac{37}{1^{\frac{2}{3}}}\)

\(K \cdot 37 = 37\)

Таким образом, получаем, что \(K = 1\).

Таким образом, итоговое решение будет:

\(M(t) = \frac{37}{t^{\frac{2}{3}}}\)