Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2cos^2x-4acosx+a^2+2=0 не имеет решений

Светлячок_В_Лесу

7

Для начала нужно определить условия на параметр a, при которых данное уравнение не имеет решений. Для этого рассмотрим выражение под знаком радикала в уравнении и найдем его дискриминант.

У нас есть уравнение вида \(2\cos^2x - 4a\cos x + a^2 + 2 = 0\).

Пусть \(t = \cos x\). Тогда уравнение примет вид \(2t^2 - 4at + a^2 + 2 = 0\).

Это квадратное уравнение относительно t. Чтобы оно не имело решений, его дискриминант должен быть отрицательным.

Дискриминант квадратного уравнения равен \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 2\), \(b = -4a\) и \(c = a^2 + 2\). Подставляем значения и находим дискриминант:

\[D = (-4a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 + 2) = 16a^2 - 8a^2 - 32 = 8a^2 - 32.\]

Чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы дискриминант D был отрицательным: \(D < 0\).

Подставляем найденное выражение для D и решаем неравенство:

\[8a^2 - 32 < 0.\]

Делим обе части неравенства на 8:

\[a^2 - 4 < 0.\]

Теперь решаем получившееся квадратное неравенство.

Для начала находим корни квадратного уравнения \(a^2 - 4 = 0\):

\[a^2 = 4.\]

Извлекая квадратный корень, получаем два значения a:

\[a_1 = 2, a_2 = -2.\]

Получили две точки: a = 2 и a = -2. Рассмотрим интервалы между этими точками: (-∞, -2), (-2, 2) и (2, +∞).

В каждом из этих интервалов определим знак выражения \(a^2 - 4\). Для этого выберем внутри интервалов произвольные значения a и подставим их в это выражение.

Например, возьмем a = 0 (лежит в интервале (-2, 2)):

\[a^2 - 4 = 0^2 - 4 = -4.\]

Получили отрицательное число. Значит, на интервале (-2, 2) выражение \(a^2 - 4\) отрицательно.

Аналогично проводим проверку для интервалов (-∞, -2) и (2, +∞).

Таким образом, получаем, что на интервалах (-2, 2) и (-∞, -2) выражение \(a^2 - 4\) отрицательно.

Итак, решение задачи: значения параметра a, при которых уравнение \(2\cos^2x - 4a\cos x + a^2 + 2 = 0\) не имеет решений, включают в себя следующие интервалы для a: (-2, 2) и (-∞, -2).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение данной задачи! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.