Найдите все значения x, удовлетворяющие условию tgx=−3, где x принадлежит интервалу (−3π/2;3π/2

Belka

52

Чтобы найти все значения x, удовлетворяющие условию \(\tan{x} = -3\), где x принадлежит интервалу \(\left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\), мы будем использовать обратную функцию тангенса - арктангенс (или \(\arctan\)).

1. Находим значения арктангенса для -3, используя калькулятор или таблицу тригонометрических значений. Значение арктангенса -3 составляет примерно -1.249.

2. Теперь мы знаем, что \(\arctan(-3) = -1.249\). Однако, для любого значения арктангенса существует бесконечное количество совпадающих значений, определяемых формулой \(x = \arctan(a) + n\pi\), где a - значение арктангенса и n - любое целое число.

3. Подставляя значения, мы получаем:
\(x = -1.249 + n\pi\), где n - любое целое число.

4. Чтобы найти все значения x, удовлетворяющие данному условию в заданном интервале, мы должны найти n такое, что \(x\) находится в интервале \(\left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\).

5. Получим список значений x, удовлетворяющих условию:

- При \(n = 0\): \(x = -1.249 + 0\pi = -1.249\) (уже входит в заданный интервал)
- При \(n = 1\): \(x = -1.249 + \pi \approx 1.893\)
- При \(n = 2\): \(x = -1.249 + 2\pi \approx 4.036\)
- При \(n = -1\): \(x = -1.249 - \pi \approx -2.501\)

Таким образом, все значения x, удовлетворяющие условию \(\tan{x} = -3\) и находящиеся в интервале \(\left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)\), равны -1.249, 1.893, 4.036 и -2.501.