Являются ли линейными следующие преобразования, если х равно (x1, x2, x3)?

Антон

68

Конечно! Я буду рад помочь. Для того, чтобы определить, являются ли данные преобразования линейными, мы должны проверить два основных свойства линейности: сохранение суммы и сохранение умножения на число.

Пусть у нас есть два преобразования \(T_1\) и \(T_2\), и \(x\) - вектор с координатами \(x = (x_1, x_2, x_3)\).

1. Сохранение суммы:
Преобразование \(T\) является линейным, если для любых двух векторов \(u\) и \(v\) выполняется следующее равенство:
\[T(u + v) = T(u) + T(v)\]

2. Сохранение умножения на число:
Преобразование \(T\) является линейным, если для любого числа \(c\) и любого вектора \(u\) выполняется следующее равенство:
\[T(cu) = cT(u)\]

Теперь, давайте рассмотрим каждое преобразование по отдельности:

1. Преобразование \(T_1(x)\):
Чтобы проверить, является ли это преобразование линейным, мы должны проверить оба свойства линейности. Давайте начнем с первого свойства.

- Проверка сохранения суммы:
Пусть у нас есть два вектора \(u = (u_1, u_2, u_3)\) и \(v = (v_1, v_2, v_3)\). Применим преобразование \(T_1\) к сумме \(u + v\):
\[T_1(u + v) = T_1((u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3))\]

По определению преобразования \(T_1\), мы должны применить какую-то операцию к каждой координате вектора. Поэтому:
\[T_1((u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)) = (2(u_1 + v_1), 3(u_2 + v_2), 4(u_3 + v_3))\]

Дальше раскрываем скобки:
\[ (2(u_1 + v_1), 3(u_2 + v_2), 4(u_3 + v_3)) = (2u_1 + 2v_1, 3u_2 + 3v_2, 4u_3 + 4v_3)\]

Заметим, что это равно сумме двух преобразований:
\[ (2u_1, 3u_2, 4u_3) + (2v_1, 3v_2, 4v_3) = T_1(u) + T_1(v)\]

Таким образом, мы получили, что
\[ T_1(u + v) = T_1(u) + T_1(v)\]

Следовательно, преобразование \(T_1(x)\) удовлетворяет первому свойству линейности - сохранение суммы.

- Проверка сохранения умножения на число:
Теперь давайте проверим второе свойство линейности.

Пусть у нас есть число \(c\) и вектор \(u = (u_1, u_2, u_3)\). Применим преобразование \(T_1\) к умножению вектора на число:
\[T_1(cu) = T_1(c(u_1, u_2, u_3))\]

По определению преобразования \(T_1\), результат будет:
\[ (2(cu_1), 3(cu_2), 4(cu_3))\]

Раскрываем скобки и выносим числа \(c\) за скобки:
\[ (2cu_1, 3cu_2, 4cu_3) = c(2u_1, 3u_2, 4u_3)\]

Заметим, что это равно произведению числа \(c\) и преобразования \(T_1(u)\):
\[ c(2u_1, 3u_2, 4u_3) = cT_1(u)\]

Таким образом, мы получили, что
\[ T_1(cu) = cT_1(u)\]

Следовательно, преобразование \(T_1(x)\) удовлетворяет второму свойству линейности - сохранение умножения на число.

Таким образом, преобразование \(T_1(x)\) является линейным.

2. Преобразование \(T_2(x)\):
Мы должны провести аналогичные проверки для второго преобразования \(T_2(x)\). Давайте это сделаем.

- Проверка сохранения суммы:
Пусть у нас есть два вектора \(u = (u_1, u_2, u_3)\) и \(v = (v_1, v_2, v_3)\). Применим преобразование \(T_2\) к сумме \(u + v\):
\[T_2(u + v) = T_2((u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3))\]

По определению преобразования \(T_2\), мы должны применить какую-то операцию к каждой координате вектора. Поэтому:
\[T_2((u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)) = ((u_1 + v_1)^2, (u_2 + v_2)^2, (u_3 + v_3)^2)\]

Раскрываем скобки и получаем:
\[((u_1 + v_1)^2, (u_2 + v_2)^2, (u_3 + v_3)^2) = (u_1^2 + 2u_1v_1 + v_1^2, u_2^2 + 2u_2v_2 + v_2^2, u_3^2 + 2u_3v_3 + v_3^2)\]

Наблюдаем, что это не равно сумме двух преобразований \(T_2(u)\) и \(T_2(v)\):
\((u_1^2, u_2^2, u_3^2) + (v_1^2, v_2^2, v_3^2) = (u_1^2 + v_1^2, u_2^2 + v_2^2, u_3^2 + v_3^2)\)

Таким образом, мы не можем утверждать, что
\(T_2(u + v) = T_2(u) + T_2(v)\)

Следовательно, преобразование \(T_2(x)\) не удовлетворяет первому свойству линейности - сохранение суммы.

- Проверка сохранения умножения на число:
Теперь давайте проверим второе свойство линейности.

Пусть у нас есть число \(c\) и вектор \(u = (u_1, u_2, u_3)\). Применим преобразование \(T_2\) к умножению вектора на число:
\[T_2(cu) = T_2(c(u_1, u_2, u_3))\]

По определению преобразования \(T_2\), результат будет:
\[((cu_1)^2, (cu_2)^2, (cu_3)^2)\]

Раскрываем скобки и получаем:
\[((cu_1)^2, (cu_2)^2, (cu_3)^2) = (c^2u_1^2, c^2u_2^2, c^2u_3^2)\]

Заметим, что это не равно произведению числа \(c\) и преобразования \(T_2(u)\):
\(c^2(u_1^2, u_2^2, u_3^2) = c^2T_2(u)\)

Таким образом, мы не можем утверждать, что
\(T_2(cu) = cT_2(u)\)

Следовательно, преобразование \(T_2(x)\) не удовлетворяет второму свойству линейности - сохранение умножения на число.

Итак, в результате:

1. Преобразование \(T_1(x)\) является линейным.
2. Преобразование \(T_2(x)\) не является линейным.