Найдите значение a, если известны координаты нормали вектора (a, b, c) к поверхности s в точке м, где s задана

Smesharik

70

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства нормали к поверхности и данное уравнение поверхности.

Нормаль к поверхности – это вектор, перпендикулярный к поверхности в данной точке. Зная уравнение поверхности s, мы можем найти нормальный вектор, используя градиент.

Градиент функции f(x, y, z) – это вектор, определенный следующим образом:
\(\nabla f(x, y, z) = \left(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}, \frac{{\partial f}}{{\partial y}}, \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\right)\)

Для данной поверхности s, уравнение которой задано как \(x^2 – 3y^2 + 2z^2 = 9\), функция f(x, y, z) является самим уравнением поверхности.

Теперь вычислим градиент функции f(x, y, z) и найдем его значение в точке м (координаты (x_m, y_m, z_m)):

\(\nabla f(x_m, y_m, z_m) = \left(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x_m, y_m, z_m), \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x_m, y_m, z_m), \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(x_m, y_m, z_m)\right)\)

\(\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x_m, y_m, z_m) = 2x_m\)
\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x_m, y_m, z_m) = -6y_m\)
\(\frac{{\partial f}}{{\partial z}}(x_m, y_m, z_m) = 4z_m\)

Теперь у нас есть компоненты нормального вектора (a, b, c), которые мы хотим найти. Они равны градиенту функции f(x, y, z) в точке м:

\((a, b, c) = \left(2x_m, -6y_m, 4z_m\right)\)

Согласно условию задачи, известно, что координата c нормали равна некоторому значению. Пусть это значение будет \(c_0\). Тогда у нас есть следующее уравнение:

\(c = 4z_m = c_0\)

Теперь мы можем найти значение a, используя уравнения:

\(a = 2x_m = \frac{c_0}{2}\)

Таким образом, значение a равно половине значения координаты c нормали вектора.