What is the solution to the differential equation represented by D squared y over dx squared minus 4 times dy over

Янтарка

39

Начнем с заданного дифференциального уравнения:

\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} - 4\frac{{dy}}{{dx}} + 13 = 0\]

Для нахождения решения этого уравнения, мы используем метод характеристик. Введем новую переменную \(m = \frac{{dy}}{{dx}}\). Дифференцируя \(m\) по \(x\), получим:

\[\frac{{dm}}{{dx}} = \frac{{d^2y}}{{dx^2}}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} - 4\frac{{dy}}{{dx}} + 13 = 0\]
\[\frac{{dm}}{{dx}} = \frac{{d^2y}}{{dx^2}}\]

Заметим, что первое уравнение можно переписать, используя \(m\):

\[m - 4m + 13 = 0\]
\[m = \frac{{-13}}{{-3}}\]
\[m = \frac{{13}}{{3}}\]

Теперь мы можем решить уравнение для \(y\). Интегрируя второе уравнение относительно \(x\), получим:

\[m = \frac{{dy}}{{dx}}\]
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{13}}{{3}}\]
\[dy = \frac{{13}}{{3}}dx\]

Интегрируя обе стороны, получим:

\[\int dy = \int \frac{{13}}{{3}}dx\]
\[y = \frac{{13}}{{3}}x + C_1\]

где \(C_1\) - постоянная интегрирования.

Теперь нам нужно найти \(C_1\). Для этого используем начальные условия, данное в задаче: \(y = 2\) и \(\frac{{dy}}{{dx}} = ???\). Подставим эти значения в уравнение и решим его. После этого we will have a complete solution to the differential equation.